Gaya Aksial
Geserdan
Momen Lentur
4-1 PENDAHULUAN
Efek gaya aksial terhadap batang yang lurus telah dikemukakan pada Bab-bab I
dan 2. Puntiran dari batang lurus telah dibahas pula pada Bab 3. Secara intuit if jelaslah
bagi para pembaca bahwa yang kita sebut ini bukanlah hanya macam gaya yang dapat
bekerja pada sebuah batang. Pada kenyataannya , dalam banyak bagian bangunan teknik,
gaya perlawanan bekerja secara lateral dan transversal terhadap sumbu-sumbu bagian tersebut.
Jenis bagian konstruksi seperti ini dinamakan balok (beam). Ber~agai penggunaan
dari balok dapat ditemui pada struktur dan mesin. Bagian utama yang mendukung lantai
bangunan adalah balok , begitu pula sebuah gandar dari mobil juga adalah balok . Dengan
bahan-bahan yang modern, maka balok merupakan bagian konstruksi yang menonjol.
Penentuan sistem gaya-gaya dalam yang diperlukan untuk keseimbangan setiap bagian
balok akan merupakan pokok utama dari bab ini.*
Balok mungkin berbentuk lurus atau melengkung, tetapi bab ini akan memusatkan
pembahasan pada balok lurus. Balok-balok lurus banyak sekali terdapat dalam praktek;
lebih lanjut, sistem gaya-gaya pada suatu irisan sebuah balok lurus sama dengan balok
lengkung. Jadi, bila sifat dari balok lurus dapat dimengerti, maka tidak banyak yang dibutuhkan
lagi untuk memahami balok lengkung. Untuk menyederhanakan pekerjaan
bab ini,t maka gaya-gaya yang bekerja pada balok tersebut akan diandaikan terletak
pada bidang yang sama , yaitu , suatu masalah balok "planar" akan dibahas secara
tersendiri. Selanjutnya, meskipun pemasangan yang sesungguhnya dari suatu balok
* !si dari bab ini mungkin dikenal nleh beberapa {>embaca. Meskipun demlkian, adalah baik sekali
untuk meninjau kembali bahan-bahan yang dikemukakan di sini. Pengetahuan sepenuhnya dari
bahan ini haruslah dipunyai sebelum membahas bab~bab yang menyusul.
t Lihat Bab 7 untuk pembahasan masalah yang lebih umum.
102 MEKANIKA TEKNIK
mungkin tegak, condong atau mendatar, maka untuk tepatnya balok-balok yang dibahas
di sini akan kelihatan dalam kedudukan mendatar. Semua balok yang ditinjau akan
ditentukan secara statis, yaitu reaksi selalu dapat ditentukan dengan penggunaan persamaan
keseimbangan statis.
Untuk batang beban aksial atau puntiran yang telah kita tinjau sebelum ini, hanya
satu gaya dalam yang dibutuhkan pada suatu irisan untuk memenuhi keadaan keseimbangan.
Tetapi umumnya, suatu sistem tiga komponen gaya dalam dapat diakui pada
sebuah irisan sebuah balok. Besaran-besaran ini akan ditentukan dalam bab ini dengan
mengisolasi · bagian-bagian dari balok serta menggunakan syarat-syarat keseimbangan
kepada bagian-bagian balok tersebut. Penelaahan hubungan gaya-gaya ini dengan tegangan
yang diakibatkan oleh gaya-gaya tersebut dalam balok tersebut akan dibahas dalam
dua bab yang berikutnya.
4-2 KAIDAH DIAGRAMATIS UNTUK TUMPUAN
Dalam mempelajari perbalokan penting sekali untuk memakai kaidah-kaidah
diagramatik urituk tumpuan balok tersebut dan pembebanan yang disebabkan oleh
bermacam-mi;lcam tumpuan dan berbagai variasi dari beban yang mungkin. Penguasaan
yang cermat dari dan ketaatan kepada kaidah-kaidah demikian akan menghindari
ban yak keraguan dan memperkecil kemungkinan membuat kesalahan. Kaidah-kaidah ini
membentuk bahasa bergambar bagi para ahli teknik. Sebagai disebutkan dalam pendahuluan,
untuk mudahnya, maka balok-balok tersebut biasanya terlihat dalam kedudukan
yang horizontal (mendatar).
Ada tiga macam tumpuan yang dikenal pada balok yang dibebani oleh gaya yang
bekerja dalam bidang yang sama. Ha! ini ditunjukkan oleh macamnya perlawanan yang
diberikan balok tersebut terhadap gaya tersebut. Salah satu jenis dari tumpuan secara
fisis dinyatakan dengan sebuah !QLatau sebuah penghubung. Alat ini mampu melawan
gaya dalam Slf!ltU garis_f!~iyangspesifik. Penghubungyangterlihat pada Gambar 4-l(a)
dapat rpelawan gaya hanya dalarn arah garis AB. Rol pada Gambar 4-1 (b) hanya dapat
melawan gaya yang vertikal, sedang rol-rol yang terlihat dalam Gambar 4-l(c) hanya
dapat melawan suatu gaya yang tegaklurus terhadap bidang CD. Dalam buku ini jenis
tumpuan ini akan biasa dilambangkan oleh tumpuan sebagai y'llng terlihat dalam Gambar-
gambar 4-1 (b) dan (c), dan kit a akan memahami bahwa tumpuan rol sanggup me lawan
gaya dalam arah mana pun* sepanjang garis aksi dari gaya reaksL Untuk: menghfndari
kedua pengertian ini; silatu penghubung skematik adakalanya dilakukan untuk
menunjukkan bahwa gay a reaksi dapat bekerja dalam tiap arah (lihatlah Gambar 4-4 ).
Suatu reaksi dari jenis tumpuan ini sesuai dengan suatu yang tidak diketahui yang
tunggal bila persamaan-persamaan statika digunakan. Untuk reaksi-reaksi yang miring,
maka perbandingan antara kedua komponen adalah tetap (lihatlah Contoh 1-3 ).
* Ha! ini secara tidak langsung menyatakan bahwa dalam disain yang sesungguhnya sebuah penghubung
harus diadakan bila gaya reaksi bekerja menjauhi balok, dengan perkataan lain, balok tersebut
tidak diperbolehkan terangkat dari tumpuan tersebut pada titik A dalam Gambar 4-l(b). Pada
gambar ini mungkin menolong untuk memperlih;itkan rol tersebut di atas balok tersebut dalam ha!
reaksi yang ke bawah, dengan.maksud menjelaskan bahwa balok tersebut terbatas menghadapi gerak
ke atas secara vertikal pada tumpuan tcrscbut. Praktek ini biasanya akan diikuti oleh buku ini.
(a)
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MDMEN LENTUR 103
Balok
Penghubung
(b)
Gambar 4-1 Tumpuan jenis penghubung dan rol (kemungkinan garis aksi dari reaksi
diperlihatkan oleh garis-garis putus).
Jenis tumpuan lain yang mungkin digunakan adalah pasak (pin). Dalam menggambar
sebuah tumpuan seperti di atas dicapai dengan menggunakan perincian seperti yang terlihat
dalam Gambar 4-2(a). Dalam buku ini tumpuan-tumpuan yang demikian dilambangkan
secara diagramatis seperti yang diperlihatkan oleh Gambar 4-2(b). Tumpuan
yang berpasak mampu melawan gaya yang bekerja dalam setiap arah dari bidang. Jadi,
pada umumnya, reaksi pada suatu tumpuan seperti ini mempunyai dua komponen, yang
satu dalam arah horizontal dan yang lainnya dalam arah vertikal. Tidak seperti pada
perbandingan pada tumpuan rol atau penghubung, maka perbandingan antara kompo.
nen-komponen reaksi pada tumpuan yang berpasak.Jidak/ah tetap~. Untuk menentukan
kedua komponen ini, dua buah persamaan statika harus digunakan.
Tumpuan jenis ketiga yang digunakan untuk balok mampu melawan gaya dalam
setiap arah dan juga mampu melawan suatu kopel atau momen. Secara fisis, tumpuan
seperti itu diperoleh dengan membangun sebuah balok ke dalam suatu dinding batu
bata, mengecornya ke dalam beton, atau melas ujung balok ke dalam bangunan utama.
Suatu sistem tiga gaya dapat muncul pada tumpuan demikian, yaitu dua komponen gaya
dan sebuah momen. Tumpuan ini disebut tumpuan jepit (fixed support) yaitu ujung
yang tertanam tersebut adalah jepit, atau dijaga untuk tidak berputar. Kaidah standar
yang menunjukkan ha! ini terlihat dalam Gambar 4-3.
4
(a) (b)
Gambar 4-2 Tumpuan yang berpasak:
(a) sesungguhnya, (b) diagramatis
r--~------------~ L- ?J;t-------------'
Gambar 4-3 Tumpuan jepit
Untuk membedakan tumpuan jepit dari tumpuan-tumpuan rol dan pasak yang tidak
mampu melawan momen, maka dua yang kemudian disebut tumpuan sederhana. Gambar
4-4 menyimpulkan perbedaan yang terdahulu antara ketiga jenis tumpuan dan
macam perlawanan yang diambil oleh masing-masing jenis tersebut. Para ahli teknik
praktis biasanya menentukan tumpuan tersebut sebagai salah satu dari ketiga jenis ter104
MEKANIKA TEKNIK
r Melawan gaya-gaya
horisontal dan vertikal
r""lk=-L ..
Hanya melawan gaya vertikal saja
Tumpuan-tumpuan sederhana
Gambar 4-4 T1ga jenis tumpuan yang umum
Melawan gaya-gaya
horisontal dan vertikal
dan momen
Tumpuan jepit
sebut di atas dengan "pertimbangan", meskipun dalam struktur yang sesungguhnya,
tumpuan-tumpuan dari balok tidak selalu dengan jelas dapat dimasukkan ke dalam klasifikasi
ini. Suatu pembahasan yang lebih lanjut mengenai aspek masalah ini adalah di luar
lingkup buku ini.
4-3 KAIDAH DIAGRAMATIS UNTUK PEMBEBANAN
Balok didatangkan untuk menumpu bermacam-macam beban. Acapkali suatu gaya
diberikan kepada balok, melalui sebuah tonggak, sebuah anggar atau sekelompok
bangunan yang memakai baut seperti yang terlihat dalam Gambar 4-S(a). Susunan demikian
mempergunakan gaya terhadap bagian balok yang sangat terbatas dan diidealisasikan
untuk tujuan-tujuan analisis balok sebagai gaya terpusat. Ha! ini secara diagramatis
dapat dilihat dalam Gambar 4-S(b). Pada pihak lain, dalam banyak ha! gaya-gaya tersebut
berlaku pada bagian yang kecil dari balok. Umpamanya, dalam sebuah gudang
barang-barang boleh ditumpuk sepanjang sebuah balok. Gaya-gaya demikian disebut
beban-beban yang terdistribusi.
w
(a) (b)
Gambar 4-5 Pembebanan terpusat pada sebuah balok (a) yang sesungguhnya
(b) yang diidealisasikan
Banyak jenis-jenis beban yang terdistribusi yang terjadi. Diantaranya, ada dua
macam beban yang terutama sekali penting: beban yang terdistribusi secara merata dan
GAVA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 105
beban yang bervariasi secara merata. Jenis beban yang pertama dengan mudah dapat
merupakan suatu idealisasi dari muatan gudang yang baru saja disinggung, di mana
barang-barang yang sejenis ditumpuk mencapai ketinggian yang sama di sepanjang balok
tersebut. Demikian juga balok itu sendiri, bila luas penampang adalah tetap, merupakan
suatu gambaran yang bagus dari pembebanan yang sama jenisnya. Suatu keadaan yang
nyata dan idealisasi diagramatis dari ha! di atas· terlihat pada Gambar 4-6. Beban ini
biasa dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang balok, kecuali disebutkan yang sebaliknya.
Dalam satuan SI ia boleh ditulis sebagai newton per meter (N/m), atau kilonewton
per meter (kN/m).
(a)
Beban terdistribusi merata
barang + balok w, N/m
(b)
Gambar 4-6 Pembebanan yang terdistribusi (a) sesungguhnya (b) idealisasi
Beban-beban yang bervariasi secara merata bekerja pada dinding yang vertikal dan
miring dari suatu bejana berisi zat cair. Ini dilukiskan pada Gambar 4-7 di ma-na diambil
bahwa balok vertikallebamya satu meter sedang satuan massa zat cair adalah 'Y (kg/m3 ).
Untuk pembebanan jenrs ini, harus diperhatikan benar bahwa intensitas maksimum
beban q0 Nfm hanya berlaku pada suatu panjang yang kecil takberhingga dari balok.
Besarnya dua kali intensitas tekanan rata-rata. Jadi gaya total yang digunakan oleh
pembebanan seperti ini pada suatu balok adalah (q 0h/2) N, dan resultantenya bekerja
pada jarak h/3 di atas dasar bejana. Dasar horizontal dari bejana yang berisi zat cair
mendapat beban secara merata.
Be ban
~
q" N/m (max) ~ y·h·l·g
Gambar 4-7 Pembebanan hidrostatik
pada dinding vertikal
Akhirnya, ada kemungkinan untuk membebani balok den_gan suatu momen terpusat
yang dibcrikan pada balok tersebut, tepatnya pada suatu titik. Salah satu susunan yang
mungkin untuk menggunakan momcn tcrpusat dapat dilihat dalam Gambar 4-8(a). dan
106 MEKANIKA TEKNIK
(a)
w
=1- ~k
(b)
Gambar 4-8 Metoda penggunaan momen terpusat pada suatu balok
(c)
lambang diagramatis yang digunakan dalam buku ini dapat dilihat dalam Gambar
4-8(c).
Keinginan untuk suatu pengertian yang lengkap mengenai pernyataan lambang
untuk tumpuan dan gaya seperti yang telah dibahas tidak perlu mendapat perhatian
yang lebih besar lagi. Yang perlu diperhatikan adalah macam perlawanan yang diambil
oleh berbagai jenis tumpuan dan cara menyatakan gaya-gaya pada tumpuan yang demikian.
Catatan-catatan ini akan berguna untuk membangun diagram benda bebas dari
balok.
4-4 KLASIFIKASI BALOK
Balok diklasifikasikan ke dalam beberapa kelompok, terutama tergantung pada
macam tumpuan yang digunakan. Jadi bila tumpuan tersebut berada pada ujung-ujung
dan pada pasak atau rol, maka balok tersebut disebut tumpuan yang sederhana atau
balok sederhana, lihat Gambar 4-9(a) dan (b). Balok tersebut menjadi balok jepit a tau
balok ujung jepit, Gambar 4-9( c), bila ujung-ujungnya mempunyai tumpuanjepit. Balokbalok
demikian disebut juga balok pengekang (restrained beams) bila ujungnya "dikekang"
untuk tidak berputar. Suatu balok terjepit pada salah sa tu ujung dan bebas
sempurna pada ujung yang lain, mempunyai nama khusus, yaitu balok kantilever,
Gambar 4-9(e).
Bila balok dibangun melewati tumpuan, maka balok tersebut dikatakan tergantung.
Jadi balok yang terlihat dalam Gambar 4-9{0 adalah balok yang tergantung. Bila tumpuan-
tumpuan antara terdapat pada batang kontinu secara fisis bekerja seperti balok,
Gambar 4-9(g), maka balok tersebut dinamakan balok kontinu (menerus).
Untuk semua balok tersebut di atas jarak L antara tumpuan disebut bentang (span).
Pada balok kontinu terdapat beberapa bentang yang panjangnya mungkin berbeda-beda.
Sebagai tambahan terhadap pengklasifikasian balok berdasarkan kepada tumpuan,
maka sering pula dipakai ungkapan-ungkapan yang deskriptif mengenai macam pembebanan
yang digunakan. Jadi balok yang terlihat daia~ Gambar 4-9(a) adalah balok
sederhana dengan beban terpusat, sedang yang terlihat dalam Gambar 4-9(b) adalah
balok sederhana dengan beban yang terdistribusi merata. Jenis balok yang lain dapat
pula dilukiskan secara yang sama.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 107
(0 !' I ! 'l
(b) I· L .[
Balok turnpuan sederhana
I I I (c) L I
Balok terjepit
I ' ' j (d) , __ L
Balok terjepit pada sa tu ujung dan
berturnpuan sederhana pada ujung lain
I ' '''''''''''! .I (e) I• L
Kantilever
f 1 "¥ "l (t) L
Balok overhang (tergantung)
' ' ' rm
Balok kontinu (rnenerus)
Gambar 4-9 Jenis-jenis balok
Untuk kebanyakan tugas dalam mekanika bahan, adalah berfaedah pula untuk
mengelompokkan lebih lanjut balok-balok tersebut ke dalam balok-balok statis tertentu
(statically determinate) dan statis tak tentu (statically indeterminate). Bila ·balok tersebut
yang dibebani dalam sua tu bidang adalah statis tertentu, maka jumlah komponen:
komponen reaksi yang tidak diketahui tidak akan melebihi tiga. Komponen yang tidak
diketahui ini selalu dapat ditentukan dari persamaan keseimbangan statika. Pasal yang
berikut dengan ringkas meninjau kembali metoda-metoda statika untuk menghitung
reaksi untuk balok-balok statis tertentu. Sedang penyelidikan mengenai balok statis
tak ten tu akan kita tunda sampai Bab 11.
4-5 PERHITUNGAN REAKSI BALOK
Semua tugas dengan balok yang berikut akan diawali dengan penentuan gaya reaksi.
Bila scmua gaya-gaya bekerja dalam satu bidang, maka tiga persamaan keseimbangan
statika harus tersedia untuk tujuan ini. Yaitu L Fx = 0, L Fy = 0 dan L M2 = 0, yang
telah kita bicarakan dalam Bab 1. Untuk balok lurus dalam kedudukan yang horizontal,
maka sumbu-x akan diambil sebagai arah yang horizontal, sumbu y untuk arah
yang vertikal dan sumbu z yang tcgaklurus terhadap bidang·kertas. Penggunaan ketiga
pcrsamaan pada beberapa persoalan balok dilukiskan di bawah dan dimaksudkan untuk
berlaku scbagai pcninjauan kcmbali dari prosedur yang penting ini. Deformasi dari
108 MEKANIKA TEKNIK
balok, sangat kecil, hingga dapat diabaikan bila persamaan-persamaan· di atas digunakan.
Untuk balok-balok yang stabil sejumlah kecil dari deformasi yang mengambil bagian
dalam merl.lbah titik-titik tangkap gaya-gaya tidaklah terlihat.
CONTOH 4-1
Hitunglah reaksi pada tumpuan untuk ;balok sederhana berbeban seperti yang terlihat
dalam Gambar 4,10(a). Abaikanlah berat dari balok.
(a)
200 N·m 160 N
(p)
Gari.l:bar 4-10
PENYELESAIAN
Pembebanan dari balok telah diberikan dalam bentuk diagramatis. Hakekat dari tumpuan
akan dibahas sesudah ini, dan komponen-komponen yang tidak diketahui dari
reaksi ini dengan tegas ditunjukkan pada diagram. Balok tersebut, dengan komponenkomponen
reaksi yang tidak diketahui dan semua gaya-gaya terpakai, digambarkan
kembali dalam Gambar 4-1 O(b) untuk dengan sengaja menekankan langkah penting ini
dalam membangun diagram benda bebas. Pada titik A, dua komponen reaksi mungkin
ada, karena ujungnya diberi pasak. Reaksi di titik B dapat bekerja hanya dalam arah
vertikal karena ujung terletak di atas rol. Titik-titik tangkap dari semua gaya secara
cermat harus diperhatikan. Sesudah diagram benda bebas dari balok dibuat, maka
penyelesaian dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan-persamaan statika.
L Fx ~= 0 RAx 0
L MA~= 0 ~) +, 200 + (100)(0,2) I ( 160)(0,3) Rn(OA) 0
Rn · I 670 N t
L Mn ou f. RAy(0,4) I 200 ( 100)(0,2) (160)(0,1) 0
RAv 410 N t
GAYA AKSIAL -GESER- DAN MOMEN LENTUR 109
Periksa:
I; Fy = 0 i +, -410 - 100- 160 + 670 = 0
Perhatikanlah bahwa ~ Fx = 0 menyelesaikan satu dari tiga persamaan statika yang
bebas, hingga hanya dua komponen reaksi tambahan yang dapat ditentukan dari statika.
Bila yang muncul pada tumpuan adalah lebih ban yak komponen reaksi dan momen yang
tidak diketahui, maka soal tersebut menjadi statis tak tentu. Dalam Gambar 4-9 balokbalok
yang diperlihatkan pada (c), (d) dan (g) adalah balok-balok statis tak tentu
dan boleh dibuktikan dengan memeriksa sejumlah komponen reaksi yang tidak diketahui.
(Cobalah membuktikan pernyataan ini).
Perhatikan pula bahwa momen terpusat Yflllg bekerja pada titik C masuk hanya ke
dalam tanda penjumlahan momen. Tanda positif dari Rn menunjukkan bahwa arah Rn
sesuai dengan anggapan dalam membuat Gambar 4-IO(b). Sebaliknya yang terjadi
dengan arah RAy di mana arah vertikal dari reaksi di titik A adalah ke bawah. Perhatikanlah
bahwa pemeriksaan pekerjaan menghitung tersebut di atas akan didapat bila
perhitungan-perhitungan dilakukan menurut yang telah diperlihatkan di atas.
PENYELESAIAN DENGAN CARA LAIN
Dalam menghitung gaya-gaya reaksi beberapa insinyur lebih menyukai membuat perhitungan
dengan cara yang ditunjukkan oleh Gambar 4-11. Pada dasarnya ini melibatkan
penggunaan dasar-dasar yang sama. Hanya perinciannya yang berlainan. Reaksi untuk
setiap gaya ditentukan satu persatu sekaligus. Reaksi total diperoleh dengan menjumlahkan
semua reaksi ini. Prosedur ini membolehkan pemeriksaan seketika terhadap perhitungan
yang sedang dilakukan. Untuk setiap gaya maka jumlah gaya-gaya reaksinya
harus sama dengan gaya tersebut itu sendiri. Umpamanya untuk gaya 160 N, mudah dilihat
bahwa gaya-gaya reaksi ke at as adalah 40 N dan 120 N dan berjumlah 160 N. Pad a
'"i.Ms~ of
0,1 m
t 200 X 1/(0,4) = 500 N
100 X (0,2) (0.4) = 50 N
160 X (0,1) (0,4) = 40 N
500 N 90 N
Rly = 410 N l
0,1 m 0,1 m 0,1 m
04 m
Gambar 4-11
t '"i.MA ~ 0
500 N = 200 x I ,-(0,4) (momen )
50 N = 100 x (0,2l/(0,4l c gaya too N 1
120 N = 160 x (0,3) (0.4) C gaya 160 NJ
R8 = 670 N t
(aJ
110 MEKANIKA TEKNIK
pihak lain, momen terpusat di titik C adalah sebuah kopel dan mendapat perlawanan
dari sebuah kopel juga. Hal ini menyebabkan suatu gaya ke atas sebesar 500 N pada
reaksi kanan dan gaya ke bawah sebesar 500 N pula pada reaksi sebelah kiri.
CONTOH 4·2
Hitunglah gaya-gaya reaksi balok berbeban sebagian dengan beban bervariasi dengan
merata seperti yang terlihat dalam Gambar 4-12(a). Abaikanlah berat dari balok.
P = x 3 x I 00 = 150 N
3m
5m 3m
5m
(b)
Gambar 4-12
PENYELESAIAN
Pemeriksaan terhadap keadaan tumpuan menunjukkan ada tiga komponen gaya reaksi
yang tidak diketahui, hingga balok tersebut termasuk yang statis tertentu. Hal ini serta
be ban yang bekerja diperlihatkan dalam Gambar 4-12(b ). Terutama harus diperhatikan
bahwa susunan batang tersebut tidaklah penting dalam menghitung gaya reaksi. Gambar
yang bentuknya kasar yang tidak mirip dengan balok yang sesungguhnya dapat dilihat
pada gambar untuk menekankan pendapat ini. Tetapi benda baru yang digambarkan ini
haruslah ditumpu pada titik-titik A dan B dengan cara yang sama dengan balok yang
asli.
Untuk menghitung gaya-gaya reaksi maka beban yang terdistribusi digantikan oleh
gaya P yang setara. Gaya ini bekerja melalui titik berat gaya-gaya yang terdistribusi.
Besaran-besaran yang bersangkutan ini diberikan tanda pada sketsa kerja. Gambar
4-12(b). Setelah diagram benda bebas dibuat, maka penyelesaian diperoleh dengan
mempergunakan persamaan-persamaan keseimbangan statis.
~ Fx = 0 RAx .c 0
~MA= 0() +, +(150)(2) .. R8(5) -c 0, Rn 60N 1
~Mno~cOC)+, - RAy(5) + (150)(3) ' 0, RAy. 90N 1
Periksa:
~ Fy . 0 ! +, ... 90 f 150 60 0
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 111
CONTOH 4-3
Tentukanlah gaya-gaya reaksi di titik A dan B untuk balok yang "tidak berberat" seperti
yang terlihat dalam Gambar 4-13(a).
16 kN
20 kN
B Ra_,
4m
R,, .J~
~4~~1~'~n.~~----~J~nl~--~J Ra
(a) (b)
Gambar4-13
PENYELESAIAN
Diagram benda bebas terlihat dalam Gambar 4-13(b ). Pada titik A ada dua komponen
gaya reaksi yang tidak diketahui, yaitu RAx dan RAy. Pada titik B gaya reaksi RB
bekerja tegaklurus pada bidang tumpuan dan memberikan suatu harga yang tidak diketahui
yang tunggal. Adalah bijaksana untuk menggantikan gaya ini dengan dua komponen
RBy dan RBx yang dalam soal yang khusus ini mempunyai harga yang sama.
Demikian pula, adalah sangat baik mengganti gaya yang miring dengan dua komponen
seperti yang diperlihatkan. Langkah-langkah ini mengurangi masalah di mana semua
gaya-gaya adalah horizontal atau vertikal. lni baik sekali dalam menggunakan persamaan
keseimbangan statis.
~MA =00 +,
~MB =00 +,
~ F_, = 0 -> +.
+(16)(1) - RBy(4) = 0,
+RAy(4) - (16)(3) = 0,
+ RA< -- 12 --- 4 = 0,
3~
I
RB = '\1"42 -! 42 = 4J2 kN ~ I
Periksa:
I 12 - 16· I 4 = 0
4-6 APLIKASI METODA IRISAN
RBy = 4 kN t = I RBx J
RAy=l2kNt
RAx = 16 kN ->
Tujuan utama dari bab ini ialah untuk memantapkan cara !llenentukan gaya yang
terdapat pada sebuah irisan dari balok. Untuk mendapatkan gaya-gaya ini, maka sekarang
akan digunakan metoda irisan, yaitu pendekatan dasar dari mekanika bahan.
112 MEKANIKA TEKNIK
Penelaahan setiap balok dimulai dengan membuat diagram benda bebas. Gaya reaksi
selalu dapat dihitung dengan mempergunakan persamaan-persamaan keseimbangan, selama
balok tersebut merupakan statis tertentu. Sistem yang lengkap dari gaya-gaya yang
menjaga balok tersebut berada dalam keseimbangan dengan demikian dapat disusun,
sedang dalam langkah-langkah analisis yang berikut tidak diperlukan membuat perbedaan
antara gaya terpakai dan gaya reaksi. Metoda irisan selanjutnya dapat digunakan
untuk setiap irisan dari balok dengan mengerjakan konsep yang dipakai terdahulu di
mana bila keseluruhan benda berada dalam keseimbangan maka setiap bagian dari benda
tersebut berada pula dalam keseimbangan.
Untuk lebih khusus, tinjaulah sebuah balok seperti yang digambarkan dalam Gambar
4-14(a) dengan gaya-gaya terpusat dan terdistribusi yang bekerja terhadapnya. Gayagaya
reaksi telah dianggap pula lebih dahulu sebagai besaran yang diketahui karena
dapat dihitung seperti pada contoh-contoh soal yang telah kita tinjau lebih dahulu
dalam Pasal 4-5. Gaya-gaya terpakai luar serta gaya-gaya reaksi pada tumpuan menjaga
keseluruhan benda berada dalam keadaan seimbang. Sekarang tinjaulah suatu irisan
khayal X-X yang tegaklurus terhadap sumbu balok yang memisahkan balok menjadi
dua segmen seperti yang terlihat dalam Gambar-gambar 4-14(b) dan (c). Terutama perhatikanlah
bahwa irisan khayal tersebut melalui beban yang terdistribusi dan memisahkan
pula menjadi dua. Masing-masing segmen balok ini adalah benda bebas yang harus
berada dalam keseimbangan. Tetapi syarat keseimbangan membutuhkan adanya suatu
sistem gaya pada irisan dari balok tersebut. Pada umumnya pada sebuah irisan sebuah
balok suatu gaya vertikal, gaya horisontal dan suatu m6men diperlukan untuk mempertahankan
bagian balok terse but berada dalam keseimbangan. Besaran-besaran. ini mempunyai
arti yang khusus dalam balok dan karena itu akan dibahas secara terpisah.
W1 ·(beba\n b7ariasi mera~ total) dJ9 / W, (bobm toW)
p_~ , I I, ' ' ' \ ;};:
X A~~-
(a) t ~> l ' R 1y Ru
~PI w,
rTTl ~
/J
(c)
!11---RI>
R ly 1/?/1
Gambar 4-14 Penggunaan metoda irisan
pada balok statis tertentu
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 113
4-7 GESER DALAM BALOK
Untuk mempertahankan segmen balok seperti yang terlihat dalam Gambar 4-14(b)
berada dalam keseimbangan maka pada irisan harus ada sua tu gaya dalam vertikal V yang
memenuhi persamaan L Fy = 0. Gaya dalam V ini, yang bekerja tegaklurus pada sumbu
balok, disebut geser atau gaya geser (shearing force). Gaya geser secara numerik adalah
sama dengan jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya-gaya luar yang bekerja
pada segmen yang terisolasi, tetapi dengan arah yang berlawanan. Dengan data kualitatif
yang ditunjukkan oleh Gambar 4-14(b) maka V mempunyai arah yang berlawanan
dengan beban yang ke bawah di sebelah kiri irisan. Gaya geser pada irisan dapat pula
dihitung dengan meninjau segmen balok yang sebelah kanan seperti yang terlihat dalam
Gambar 4-14(c). Geser ini secara numerik sama dan berlawanan arah dengan jumlah
semua gaya vertikal, termasuk komponen gaya-gaya reaksi yang terdapat di sebelah
kanan irisan. Apakah segmen yang sebelah kanan atau sebelah kiri yang dipergunakan
untuk menentukan gaya geser pada irisan, tidaklah penting, yang menentukan adalah
kesederhanaan dalam perhitungan. Geser pada irisan yang lain dapat pula dihitung
dengan cara yang serupa.
Pada waktu ini suatu pengamatan yang berarti haruslah kita buat. Geser yang
sama yang terlihat dalam Gambar-gambar 14(b) dan (c) pada irisan X-X dalam kedua
diagram mempunyai arah yang berlawanan. Untuk yang bagian beban W1 yang mengarah
ke bawah pada sebelah kiri irisan X-X, balok pada irisan tersebut mempunyai
sebuah tumpuan ke atas untuk membuat gaya vertikal berada dalam keseimbangan.
Sebaliknya, bagian balok yang dibebani tersebut menggunakan gaya arah ke bawah pada
balok tersebut seperti yang terlihat dalam Gambar 4-14(c). Pada irisan geser "dua
arah" haruslah dibedakan, tergantung kepada segmen balok yang mana yang ditinjau. Ini
Resultante semua gaya disebelah kiri irisan
t/ +V I +V (ct=J)
Segmen balok
(a) (b)
Gambar 4-15 Definisi dari geser positif
114 MEKANIKA TEKNIK
mengikuti konsep statika aksi-reaksi yang telah kita kenal dan yang telah terjadi dahulu
dalam kasus batang be ban aksial, dan kemudian dalam masalah puntiran.
Arah geser pada irisan X-X akan saling terbalik pada kedua diagram bila beban
terdistribusi W 1 bekerja ke atas. Acapkali keterbalikan yang serupa dalam arah geser
terdapat pada suatu irisan atau yang lain di sepanjang balok untuk pertirnbangan yang
akan menjadi jelas kelak. Pemakaian kaidah tanda adalah perlu untuk membedakan
antara kedua arah geser yang mungkin. Definisi dari geser positif digambarkan dalam
gambar 4-lS(a). * Sua tu gaya dalam ke bawah yang bekerja pada sebelah kiri dari suatu
irisan atau satu gaya ke atas di sebelah kanan dari irisan yang sama adalah suatu geser
positif. Geser positif untuk elemen yang diisolasi dari suatu balok oleh dua irisan diperlihatkan
dalam Gambar 4-IS(b). Sedang geser pada irisan X-X dari Gambar 4-14(a)
adalah suatu geser negatif.
4-8 GAYA AKSIAL DALAM BALOK
Sebagai tambahan pada gaya geser V, maka suatu gaya mendatar seperti P pada ·
Gambar 4-16(b) dan (c), mungkin diperlukan pada sebuah irisan sebuah balok untuk ·
m,emenuhi syarat keseirnbangan. Besar dan arti dari gaya ini akan mengikuti jawab
khusus dari persamaan ~ Fx = 0. Bila gaya horisontal P terse but bekerja terhadap irisan
1-tj (beba\n b:rvariasi mera:
1
total) d]B 1 w, (bebon tou•>
p_1 , I I, ' ' ' \ ;M
A~~ .
(a) X 1 .h 1
I R4,. RB
Gambar 4-16 Pemakaian metoda irisan
pada balok statis tertentu
(ulangan)
* Definisi geser positif adalah berlawanan dengan penyelesaian matematis yang tepat yanj!; berhubungan
dengan sistem Cartesian empat persegi panjang sebelah kanan. Bagaimana pun hal ini akan
digunakan di seluruh buku ini karena kaidah ini sangat banyak dipakai dalam kepustakaan teknik
untuk penyelesaian yang benar-benar konsisten, lihat umpamanya E.P. Popov, Introduction to
Mechanics of Solids, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1968.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MO MEN LENTUR 115
maka ia disebut gaya dorong (thrust); bila gaya tersebut menjauhi irisan, dinamakan
gaya tarik aksial (axial tension). Sehubungan dengan pembedaan gaya-gaya ini maka digunakan
pula sebutan gaya aksial. Pengaruh dari gaya aksial pada irisan sebuah batang
telah dibahas pula dalam Bab 1. Kita melihat bahwa penting untuk membuat gaya ini
melalui titik berat luas penampang untuk menghindari lenturan. Begitu pula bahwa
garis aksi gay a aksial selalu diarahkan melalui titik berat luas penampang dari balok.
Kita boleh pula memeriksa suatu irisan dari balok untuk menentukan besaran gaya
aksial dengan cara tersebut di atas. Gaya tarik pada sebuah irisan biasanya diambil positif.
Gaya aksial ( dorong) pada irisan X-X dalam Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) adalah
sama dengan gaya mendatar P2 •
4-9 MOMEN LENTUR DALAM BALOK
Penentuan gaya geser dan aksial pada sebuah irisan balok melengkapi dua syarat
statika yang harus dipenuhi oleh segmen. Gaya-gaya ini memenuhi persamaan ~ Fx = 0
dan ~ Fy = 0. Syarat keseimbangan statis yang tinggal untuk persoalan planar adalah
~ Mz = 0. Pada umumnya, ini dipenuhi hanya dengan membentuk sebuah kopel atau
momen perlawanan dalam (internal resisting moment) pada luas penampang dari irisan
untuk menghadapi momen yang disebabkan oleh gaya-gaya luar. Momen perlawanan
dalam tersebut haruslah bekerja dalam arah yang berlawanan dengan momen luar untuk
memenuhi persamaan ~ Mz = 0. Demikian pula dari persamaan yang sama diperoleh
bahwa besar momen perlawanan dalam adalah sama dengan momen luar. Momenmomen
ini cenderung untuk melenturkan balok dalam bidang beban dan yang biasanya
diartikan sebagai momen lentur (bending moments).
Momen lentur dalam M dapat ditunjukkan dalam Gambar 4-16(b ). Momen ini dapat
dibentuk hanya dalam daerah penampang balok dan setara dengan sebuah kopel. Untuk
menentukan momen ini perlu dijaga keseimbangan segmennya, jumlah momen yang
disebabkan oleh gaya-gaya dapat dibuat disekitar tiap titik dalam bidang; sudah tentu,
semua gaya dikalikan dengan lengan harus dimasukkan ke dalam penjumlahan ini. Tidak
terkecuali gaya-gaya dalam V dan P. Untuk mengeluarkan momen yang disebabkan oleh
gaya-gaya ini dari penjumlahan, lebih baik dalam persoalan-persoalan numerik ini untuk
memilih titik potong kedua gaya dalam ini sebagai titik di sekitar mana momen-momen
tersebui dijumlahkan. Pada titik ini kedua gaya V dan P ini mempunyai lengan yang
panjangnya adalah nol, yang terletak pada titik berat daerah penampang dari balok.
Di samping meninjau segmen sebelah kiri irisan X-X, maka segmen sebelah kanan
balok, seperti dalam Gambar 4-16(c), dapat pula digunakan untuk menentukan momen
lentur dalam. Sebagai diterangkan di atas, momen dalam ini sama dengan momen luar
gaya-gaya terpakai (termasuk gaya-gaya reaksi). Penjumlahan momen lebih baik dibuat
di sekitar titik be~at irisan pada potongan tersebut. Dalam Gambar 4-16(b) momen perlawanan
dapat ditafsirkan secara f1sis sebagai sua tu tarikan pada serat atas dan dorongan
kepada serat yang lebih bawah. Interpretasi yang sama dapat pula berlaku untuk momen
yang sama dalam Gambar 4-16(c).
116 MEKANIKA TEKNIK
+M +M
(a) (b)
Gambar 4-17 Definisi dari momen lentur positif
Bila beban W1 da1am Gambar 4-16(a) bekerja dalam arah yang berlawanan, maka
m omen perlawanan dalam Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) akan terbalik. Ha! ini dari
keadaan yang serupa memerlukan penggunaan kaidah tanda untuk momen lentur.
Kaidah ini berhubungan dengan tindakan fisis yang tertentu dari balok tersebut. Umpamanya,
pada Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) momen-momen dalam tersebut menunjukkan
tarik pada bagian atas dari balok dan menekan bagian yang lebih bawah. Ini cenderung
untuk memperbesar panjang permukaan atas dari balok dan memperpendek
bagian permukaan yang lebih rendah. Kejadian yang terus menerus dari momen-momen
seperti itu di sepanjang balok membuat balok tersebut berubah bentuk melengkung ke
atas, yaitu "tahan air". Momen lentur yang demikian diberi tanda negatif Sebaliknya,
momen yang positif didefinisikan sebagai yang menghasilkan tekan di sebelah atas dan
tarik di sebelah Jebih bawah dari suatu penampang balok. Dalam keadaan demikian
balok tersebut dianggap mempunyai bentuk "menyimpan air". Umpamanya, sebuah
balok sederhana yang mendukung suatu kelompok gaya ke bawah akan melengkung ke
bawah seperti yang diperlihatkan dalam bentuk yang berlebihan dalam Gambar 4-17(a),
suatu kenyataan yang dapat diduga secara langsung dengan intuisi. Pada balok seperti
itu, suatu pembahasan yang terperinci dari momen lentur sepanjang balok memperlihatkan
bahwa semua momen terscbut adalah positif. Pengertian momen lentur yang positif
pada sua tu irisan ditunjukkan dalam Gambar 4-17(b ).
4-10 DIAGRAM GESER, GAYA AKSIAL DAN MOMEN LENTUR
Dengan metoda yang dibahas di at as maka besaran dan arti dari gaya geser, gay a
aksial dan momen lentur dapat diperoleh pada berbagai irisan dari balok. Selanjutnya,
dengan memakai kaidah tanda untuk besaran-besaran ini, suatu plot dari harga-harganya
GAYA AKSIAL- GESER- OAN MOMEN LENTUR 117
dapat dibuat pada diagram-diagram yang terpisah Pada diagram-diagram tersebut
berdasarkan basis yang menyatakan panjang balok, maka ordinat menunjukkan besaranbesaran
yang dihitung. Bila titik-titik ordinat ini digambar dan dihubungkan oleh garis,
kita memperoleh pernyataan grafis dari fungsi-fungsi tersebut. Diagram-diagram ini
sesuai dengan macam besaran yang digambarkannya, yang berturut-turut disebut diagram
gaya geser, diagram gaya aksial, atau diagram momen lentur. Dengan bantuan
diagram demikian, maka besar dan letak berbagai besaran ini dengan segera menjadi
jelas. Adalah Jebih baik membuat plot ini langsung di bawah diagram benda bebas dari
balok, dengan mempergunakan skala horisontal yang sama untuk panjang balok tersebut.
Dalam membuat diagram-diagram tersebut, biasanya tidak diperlukan ketelitian
seperti para juru gambar. Meskipun ordinat-ordinat yang penting ditandai dengan harga
numeriknya.
Diagram gaya aksial tidak umum digunakan dalam sehari-hari sebagaimana halnya
diagram gaya geser dan momen lentur. Hal ini disebabkan oleh kebanyakan balok yang
dipelajari dalam praktek adalah yang dibebani oleh gaya-gaya yang bekerja tegaklurus
terhadap sumbu balok. Malahan pada pembebanan balok tersebut, gaya aksial tidak ada
pada irisan-irisannya.
Diagram-diagram geser dan momen adalah yang amat penting. Dari diagram ini para
perancang dapat dengan sekilas melihat macam kemampuan yang dapat diharapkan dari
balok pada setiap irisan. Pada Bab 10 mengenai disain batang metoda untuk menggambar
diagram-diagram ini secara cepat akan dibahas kelak. Bagaimana pun, prosedur
yang telah dibahas di atas mengenai pengirisan sebuah balok serta mendapatkan sistem
gaya-gaya yang terdapat pada irisan adalah merupakan pendekatan yang sangat mendasar.
Ini akan digunakan dalam melukiskan contoh-contoh yang berikut.
CONTOH 4-4
Gambarlah diagram-diagram gay a geser, gay a aksial dan momen lentur untuk balok
yang tidak berberat seperti yang terlihat dalam Gambar 4-18(a), yang mengalami gaya
miring sebesar P '""' 5 kN.
PENYELESAIAN
Diagram benda bebas untuk balok terse but dapat dilihat dalam Gambar 4-18(b ). Gayagaya
reaksi diperoleh sesudah ·gaya terpakai diuraikan menjadi dua komponen. Kemudian
diselidiki · beberapa irisan yang dibuat pada balok tersebut, seperti yang terlihat
dalam Gambar-gambar 4-18(c), (d), (e), (f) dan (g). Untuk setiap kasus pertanyaan yang
sama dapat diajukan: Gaya-gaya dalam yang manakah yang diperlukan untuk menjaga
segr1en balok tersebut berada dalam keseimbangan? Besaran-besaran yang sesuai ditulis
pada masing-masing diagram benda bebas yang bersangkutan dari segmen balok. Ordinat
untuk besaran-besaran ini ditunjukkan oleh titik-titik tebal dalam Gambar-gambar
4-18(h ), (i) dan (j) dengan perhatian kepada tanda-tanda besaran terse but.
Perhatikanlah bahwa benda-benda bebas yang terlihat dalam Gambar-gambar
4-18(d) dan (g) adalah diagram pengganti karena memberikan keterangan yang sama dan
biasanya keduanya tidak usah dibuat. Perhatikan pula bahwa irisan agak sebelah kiri dari
gay a terpakai mempunyai sa tu mac am tanda dari geser, Gambar 4-18( e), sedang yang
118 MEKANIKA TEKNIK
P = 5 kN .J
(a)
:;;;; - ! Oi;'
k---1• _5=--:::m~•-1---1• _____::___::.m:5 -=----+i•l z
(b) 2kN 4kN·m 4kN·m 2kN
3 kN 2 kir"'\__ 'l2 kN I -• -'.~T3 kN \.~
2kN,, 2 m,l (d) ~2kN
3 kN I 2 kN~IO kN·m
~1 ~~3kN
2 kNt i I 5 m- 1• I • 4 kN
3~ I 3kNfQ: I : -'t 10 kN·m
2 kN ~-------'5=--:mr-=--+l -1 2 kN
(c)
(e)
(f)
i 14kN
3 kN c==tl ==::!~3:;k;;Nt:::h ~ kN X 8 m- 4 kN X 3 IJl
-1 - -~~4kN·m
2kNl 8 m I 2 kN
I I
(g)
2 k:r-~+-2,..-,k:-::-N~l-+_...,ol :
: . : (h) ~-2kN
(i)
0 ! . . 1-3 kN! - .I I
-3kN ~kN·m~m~ .11.-N·
~m
( j) 0
Geser
Gaya aksial
Momen lentur
Gambar 4-18
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 119
agak sebelah kanan, Gambar 4-18(f), mempunyai tanda yang lain. Ini menunjukkan
pentingnya menentukan geser pada sebelah menyebelah gaya terpusat. Untuk keadaan
yang diperlihatkan tersebut, maka balok tidak melawan geser yang harganya sama
dengan keseluruhan gaya. Sedang momen lentur untuk kedua kasus adalah sama.
Untuk kasus yang khusus ini, setelah beberapa titik individual telah ditetapkan pada
ketiga diagram dalam Gambar 4-18(h), (i), dan G), maka sifat masing-masing besaran
pada keseluruhan panjang balok boleh diperbincangkan. Jadi meskipun segmen balok
yang terlihat dalam Gambar 4-18(c) panjangnya adalah 2 m, tetapi panjang ini boleh
saja diambil berubah-ubah dari no! sampai panjang ke titik dekat sebelah kiri gaya terpakai,
di mana tidak terdapat perubahan gaya geser dan gaya aksial. Jadi ordinat dalam
Gambar-gambar 4-18(h) dan (i) tetap konstan untuk segmen balok ini. Di pihak
lain, lllomen lentur bergantung dan berbanding lurus dengan jaraknya dari tumpuan,
hingga besaran ini berubah secara linier seperti yang terlihat dalam Gambar 4-18G).
Pertimbangan yang serupa berlaku pula untuk segmen yang terlihat dalam Gambar
4-18(d), yang memungkinkan kita dapat melengkapi bagian sebelah kanan ketiga dia- ·
gram tersebut di atas. Penggunaan diagram benda bebas dari Gambar 4-18(g) untuk
melengkapi diagram yang sebelah kanan memberikan hasil yang sama pula.
CONTOH 4-5
Gambarlah diagram geser dan momen lentur untuk balok yang dibebani oleh gaya yang
terlihat dalam Gambar 4-19(a).
~~p p!l
~:~ I t
(a) 'p
~ M=Px
(b) Gambar 4-19
---..__,__
(c) ~ M=Pa
p
Geser
(d) 01 + p
(e) ./ + SI+Pa
M omen
120 MEKANIKA TEKNIK
PENYELESAIAN
Sebuah irisan tertentu pada sua tu jarak x dari tumpuan sebelah kiri memisahkan segmen
balok yang terlihat dalam Gambar 4-19(b ). Irisan ini berlaku untuk semua harga x yang
terletak di sebelah kiri gaya terpakai P. Gaya geser tetap konstan yaitu. sel}esar +P.
Tanpa memperhatikanjaraknya dari tumpuan. Momen lentur berubah secara linier dari
titik tumpuan, sampai mendekati harga maksimumnya yaitu sebesar +Pa.
Suatu irisan tertentu yang berlaku di mana-mana antara dua gaya terpakai diperlihatkan
dalam Gambar 4-19( c). Tidak ada gaya geser yang diperlukan untuk menjaga
keseimbangan segmen dari bagian balok ini. Hanya satu momen lentur yang konstan
sebesar +Pa yang ada dalam daerah ini yang harus dilawan oleh balok tersebut. Keadaan
lentur yang demikian dinamakan lenturan mumi (pure bending).
Diagram-diagram geser dan momen lentur untuk keadaan pembebanan ini dapat
dilihat dalam Gambar-gambar 4-19( d) dan (e). Diagram gaya aksial tidak dibutuhkan
karena gaya ini memang tidak ada dalam irisan balok ini.
CONTOH 4-6
Gambarlah diagram geser dan momen lentur untuk sebuah balol< sederliana· dengan
beban yang terdistribusi secara merata, Gambar 4~20{a).
1' ' ' J =' ' ' J ' J 'l
Tw0 N/m
(a)
111'ol 1
L
(b)
1---'-'x---1
"-V=~ lllo•L HJoX
(c)
~IV.oL~
~ Geser
O ~-tW,0.L
M omen
(d) /: + ~} t l1'o•L
2
Gainbar 4-20
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MDMEN LENTUR 121
PENYELESAIAN
Cara yang terbaik untuk menyelesaikan soal ini ialah dengan menuliskan pernyataan
aljabar untuk besaran-besaran yang diselidiki. Untuk tujuan ini, sebuah irisan yang tertentu
dibuat pada jarak x dari tumpuan sebelah kiri, yang digunakan untuk mengisolasi
segmen yang terlihat dalam Gambar. 4-20(b ). Karena beban terpakai tersebut secara
kontinu didistribusikan sepanjang balok, maka irisan ini adalah khas dan berlaku untuk
setiap irisan di seluruh panjang balok. Pada kasus yang lebih sukar beberapa daerah dari
sebuah balok mungkin harus pula diselidiki tergantung dari distribusi dari beban terpakai.
Dalam beberapa hal dianjurkan mempergunakan beberapa titik asal dari x untuk
mempermudah fungsi-fungsi aljabar.
Gaya geser V adalah sama dengan gaya reaksi ke atas sebelah kiri dikurangi dengan
beban pada sebelah kiri irisan. Momen lentut dalam M melawan momen yang disebabkan
oleh gaya reaksi pada sebelah kiri kurang momen yang disebabkan oleh gaya-gaya
pada sebelah kiri irisan yang sama. Penjumlahan momen-momen ini dilakukan sekitar
suatu sumbu pada irisan tersebut. Meskipun biasanya kita mengisolasi segmen yang
sebelah kiri, tetapi hasil yang sama akan dapat pula kita peroleh dengan meninjau
segmen sebelah kanan dari balok, dengan memperhatikan kaidah-kaidah tanda. Gambar
fungsi-fungsi V danM dapat dilihat dalam Gambar-gambar 4-20(c) dan (d).
CONTOH 4-7
Tentukanlah diagram-diagram geser, gaya aksial dan momen lentur untuk kantilever
yang dibebani oleh suatu gaya yang miring pada ujungnya, Gambar 4-2l(a).
PENYELESAIAN
Pertama kali gaya miring tersebut kita uraikan ke dalam dua komponen yang diperlihatkan
oleh Gambar 4-2l(b) dan kemudian gaya-gaya reaksi dapat ditentukan. Ketiga
I PL PL -Px
I~ :) 1 X Jff
L
(a) (d) :I + ! I Gaya aksial
I
~ ~ (e) :I + i Geser
p I
(f).O~ M omen
(b)
-PL -f:PL- Px)
Gambar 4-21
122 MEKANIKA TEKNIK
besaran yang tidak diketahui pada tumpuan dapat diselesaikan dari persamaan-persamaan
statika yang sudah kita kenal. Ini melengkapi diagram benda bebas yang terlihat
dalam Gambar 4-21(b). Kelengkapan menunjukkan semua gaya-gaya ini merupakan hal
yang paling penting.
Sebuah segmen balok diperlihatkan dalam Gambar 4-21(c); dari segmen ini kita
melihat bahwa gaya geser dan gaya aksial tetap sama tanpa melihat jarak x. Pada pihak
lain, momen lentur adalah suatu besaran variabel. Penjumlahan momen sekitar titik C
memberikan (PL - Px) yang bekerja dalam arah yang terlihat. Ini menunjukkan suatu
momen negatif Momen pada tumpuan seperti halnya momen lentur negatif mempunyai
kecenderungan untuk menarik serat atas dari balok. Ketiga diagram tersebut digambarkan
dalam Gambar-gambar 4-21(d), (e), dan (f).
CONTOH 4-8
Diberikan sebuah balok lengkung yang sumbu titik beratnya dibengkokkan menjadi
bentuk setengah lingkaran dengan radius 0,2 m seperti yang terlihat dalam Gambar
4-:22(a). Bila batang ini ditarik oleh gaya sebesar 1000 N, hitunglah gaya aksial, geser
dan momen lentur pada irisan A-A, a= 45°. Sumbu titik berat dan gaya-gaya terpakai
semuanya terletak dalam bidang yang sama.
PENYELESAIAN
P= IOOON
(a)
y
M=
/
1000 N
(h)
' '
Gambar 4-22
Tidak ada perbedaan yang berarti dalam metoda penyelesaian soal ini dibandingkan
dengan persoalan balok lurus. Benda secara keseluruhan diperiksa dengan syarat keseimbangan.
Dari keadaan persoalan di sini, hat seperti ini sudah merupakan kasus. Berikutnya,
sebuah segmen dari balok diisolasikan, seperti Gambar 4-22(b). lrisan A-A diGAYA
AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 123
ambil tegaklurus terhadap sumbu balok. Sebelum 111enentukan besaran-besaran yang dikehendaki
pada irisan, maka gaya terpakai P diuraikan ke dalam komponen"komponen
yang sejajar dan tegaklurus terhadap irisan tersebut. Arah-arah ini diambil masing-masing
sebagai sumbu-sumbu y dan x. Penguraian ini mengganti gaya P dengan komponenkomponen
yang diperlihatkan dalam Gambar 4-22(b ). Dari L Fx = 0, gaya aksial pada
irisan adalah +707 N. Dari L Fy = 0, diperoleh gaya geser sebesar 707 N dengan arah
yang seperti diperlihatkan dalam gambar. Momen lentur pada irisan dapat ditentukan
dengan beberapa cara yang berbeda. Umpamanya, bila kita gunakan penjumlahan
L M0 = 0, maka harus diperhatikan bahwa garis kerja gaya terpakai P dan geser pada
irisan melalui titik 0. Karena itu yang perlu kita perhatikan sekarang hanyalah gaya
aksial melalui titik berat irisan dikalikan dengan radius, hingga kita memperoleh momen
lentur perlawanan adalah 707(0,2) = 141,4 .N·m, yang bekerja dalam arah yang diperlihatkan
dalam gambar di atas. Cara penyelesaian yang lain dapat diperoleh dengan
menggunakan L Me = 0. Pada titik C, yaitu titik yang terletak pada titik berat, gaya
aksial dan geser berpotongan. Oleh karena itu maka momen lentur sekarang menjadi
sebagai basil perkalian antara gaya terpakai P dengan lengan sebesar 0,1414 m. Dalam
kedua metoda penentuan momen lentur ini, penguraian gaya P ke da1am koinponenkomponennya
tidaklah perlu dilakukan hingga persoalan sekarang menjadi lebih menyangkut
perhitungan saja.
Pembaca dapat pula dianjurkan untuk melengkapi persoalan ini dalam bentuk sudut
umum a. Beberapa pengamatan yang penting mungkin dapat dibuat dari penyelesaian
upmm seperti ini. Momen-momen pada ujung-ujung akan menjadi nol untuk a = 0° dan
a = 180°. Untuk a = 90° gaya geser akan menjadi nol dan gaya aksial akan menjadi
sama dengan gaya terpakai P. Demikian pula dengan m omen lentur yang menjadi maksimum
pada a = 90°.
4-11 PROSEDUR LANGKAH DEMI LANGKAH
(STEP-BY-STEP PROCEDURE)
Dalam analisis balok adalah penting sekali untuk dapat menentukan gay a geser,
gaya aksial dan momen lentur pada setiap irisan. Teknik untuk mendapatkan besaranbesaran
ini luar biasa jelasnya dan sistematik. Untuk memberikan penekanan lebih
lanjut, maka langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan semua soal-soal yang
sudah dibahas akan kita ringkas sekarang. Ikhtisar ini dimaksudkan untuk membantu
pada mahasiswa dalam melakukan analisis yang tertib mengenai persoalan ini. Menghafal
belaka prosedur ini adalah mengecewakan.
1. Buat1ah skets balok yang baik di mana semua gaya-gdya terpakai dengan jelas diperlihatkan
beserta letaknya terhadap tumpuan.
2. Dengan tegas tunjukkan gaya-gaya reaksi yang tidak diketahui (lebih baik menggunakan
pensil berwarna). lngatlah bahwa sebuah tumpuan rol mempunyai satu
gaya reaksi yang tidak diketahui, tumpuan berpasak mempunyai dua gaya reaksi
yang tidak diketahui, sedang tumpuan jepit mempunyai Tiga gaya reaksi yang tidak
diketahui.
124 MEKANIKA TEKNIK
3. Gantilah semua gaya-gaya miring (yang diketahui dan tidak diketahui) dengan komponen-
komponen yang sejajar dan tegaklurus dengan balok. *
4. Pergunakanlah persamaan-persamaan statika untuk memperoleh gaya-gaya reaksi
tersebut.t Pemeriksaan terhadap gaya-gaya reaksi yang dilakukan dengan cara
yang sudah dikemukakan dalam Contoh-contoh 4~1, 4-2 dan 4-3, adalah sangat diperlukan.
5. Buatlah sua tu irisan pada letak yang dikehendaki dari balok yang tegaklurus pada
sumbunya. Irisan khayal ini memo tong balok tersebut saja dan isolasikan gaya-gaya
yang bekerja pada segmen tersebut.
6. Pilihlah suatu segmen di sebelah menyebelah irisan yang sudah dikemukakan dan
gambarkan kembali segmen ini, dengan menunjukkan semua gaya-gaya luar yang
bekerja padanya. Ini harus termasuk semua komponen gaya-gaya reaksi. ·
7. Tunjukkan ketiga besaran yang tidak diketahui yang mungkin ada pada irisan
potongan, yaitu, perlihatkanlah gaya-gaya P, V dan M, dengan mengandaikan araharah
mereka.
8. Pergunakanlah persamaan-persamaan keseimbangan untuk segmen tersebut dan
selesaikanlah untuk besaran-besaran P, V dan M. Bila hasil penyelesaian tersebut
menunjukkan bahwa besaran-besaran ini berharga negatif, maka arah yang telah
diandaikan semula pada irisan tersebut haruslah dibalikkan.
Prosedur ini memungkinkan kita menentukan gaya geser, gaya aksial dan momen
lentur pada setiap irisan sebuah balok. Tanda untuk besaran-besaran ini mengikuti definisi-
definisi yang telah diberikan lebih dahulu. Bila yang dikehendaki adalah diagram
sistim gaya-gaya dal~m, maka beberapa irisan bisa pula diselidiki. Janganlah salah menentukan
perubahan mendadak dari gaya geser pada gaya~gaya yang terpusat, dan
perubahan mendadak dari harga momen lentur pada titik-titik di mana ada momenmomel_
l yang terpusat. Kadang-kadang diperlukan pula pernyataan aljabar dari besaranbesaran
yang sama.
Dalam pembahasan di atas pembuatan diagraJTI-diagram gaya geser dan momen
terutama digambarkan untuk batang yang horisonta:. Untuk batang yang miring, prosedur
adalah sama, kecuali bila mengarahkan sumbu koordinat sepanjang dan tegaklurus
sumbu batang. Pada sistem struktur melengkung dan yang mengikuti ruang arah sumbu
adalah sepanjang sumbu dari batang. Dalam kasus demikian salah satu sumbu koordinat
diambil menyinggung terhadap sumbu batang, seperti yang terlihat dalam Gambar 4-22.
Untuk menyelesaik~n dengan skema diagramatis yang digunakan dalam buku ini untuk
balok horisontal, maka ordinal untuk momen lentur dari sistcm lengkung dan sistem
bentuk ruang haruslah diplot pada bagian tekan dari irisan. +
Pada waktu ini disarankan untuk meninjau kembali Pasal 1-9 mengenai pendekatan
dasar dari mekanika bahan, sebagai pengetahuan yang sangat baik mengenai isi pasal tcrsebut.
* Suatu kecerdikan yang lebih besar dibutuhkan untuk mcnghadapi balok-balok yang mclcngkung.
t Langkah ini dapat dihilangkan untuk kantilevcr dengan mcngcrjakan dari ujung yang bcbas.
I Dalam beberapa buku mcngcnai analisa struktur, skema yang hcrlawanan dipergunakan pula.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 125
SOAL·SOAL YANG HARUS DISELESAIKAN
(Catatan: Sebagai tambahan pada balok, maka
kerangka sederhana termasuk pula ke dalam
soal-soal yang berikut. Untuk besaran-besaran
yang ditanyakan, penelaahan mengenai kerangka-
kerangka ini analog dengan yang mertgenai
balok).
4-l. Buktikanlah bahwa efek terhadap suatu
struktur dari gaya tarik yang bekerja pada
kabel fleksibel yang melalui sebuah katrol yang
tidak mempunyai gesekan adalah sama dengan
yang dari dua gaya yang sama yang bekerja
pada titik pusat gandar.
4-2. Hitunglah gaya-gaya reaksi pada tumpuantumpuan
sendi A dan B. Jawab: RAx = 18,75
kN, RAy = 75 kN.
B
GAMBAR SOAL 4 - 2
4-3. Untuk balok yang dibebani seperti yang
diperlihatkan dalam gambar, tentukanlah besar
dan arah gaya-gaya reaksi.
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4 - 3
4-4 sampai 4-13. Llnluk· struktur-slruktur
planar yan~ dibcbani sepcrti yan~ diperlilwt
dalam gambar-gambar yang di bawah, tcntukanlah
gaya-gaya reaksi atau komponcn-komponen
~aya rcaksi. Scmua struktur tersebut diandaikan
tidak mcmpunyai berat. Sua tu pl'nggambaran
diagram benda hc·bas yang benar adalah bagi·
an yang penting dari masing-masing soal.
Jawab: Komponen reaksi ke atas untuk gaya
reaksi sebelah kiri diberikan dalam tanda kurung
pada masing-masing gambar, dalam satuan
yang sama dengan beban terpakai.
/ / t-+-----·--+1
4m
(6)
GAMBAR SOAL 4 - 4
/0,2 m rat!
20 kN
( -20)
GAMBAR SOAL 4 - 5
_....-- 30 kN/m
AJ-J- c:Cf1- ~ 'j"2.m' ~T~- I
(10)
GAMBAR SOAL 4 - 6
1,5 Ill !m
(69,2)
GAMBAR SOAL 4 - 7
7,07 kN~~s_·_
s!' m
3,5 m U ,;lj
--- ----...j
t2J5)
GAMBAR SOAL 4 - 8
126 MEKANIKA TEKNIK
100 kN 3 500 kN
(100)
GAMBAR SOAL 4 - 9
I m
-+-.-------LJ I
I m.:...r_t~=---+----~~ _
GAMBAR SOAL 4- 10
I m
I m
(35)
(25,6)
GAMBAR SOAL 4 - 11
20 kN
( 10)
GAMBAR SOAL 4 - 12
0,9 kN/m
45
(X77)
GAMBAR SOAL 4 - 13
4-14. Untuk balok yang dibebani seperti yang
diperlihatkan dalam gambar, hitunglah gaya
geser dan momen lentur pada pertengahan rentangan
yang disebabkan oleh beban terpakai.
4-15. Sebuah blok rantai dipergunakan untuk
mengangkat berat 1000 kg dengan perantaran
balok penyebar yang terlihat pada gambar. Rantai
AB adalah 2,4 m panjangnya, sedang rantai
BC adalah 3,2 m panjangnya. Dengan mengabaikan
berat dari susunan balok ini, hitunglah
komponen-komponen semua gaya yang bekerja
sejajar dan tegaklurus kepada balok tersebut
bila sedang digunakan. Jawab: RAx = 3530 N.
A c
GAMBAR SOAL 4 - 15
4-16. Dua buah massa masing-masing berat
2 kg dipasang pada sebuah poros dengan perantaraan
lengan kaku seperti yang terlihat dalam
gambar. Dengan mengabaikan berat poros dan
lengan-Tengan, hitunglah gaya-gaya reaksi pada
bantalan bila poros berputar dengan 600 rpm.
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4- 16
4-17. Tentukanlah momen lentur pada tumpuan
B dalam Soal4-5. Jawab: 30 kN.m.
4-18. Tcntukanlah ~aya gcser dan momen
lentur pada irisan yang terdapat di tengahtengah
antara titik C dan D pada balok AB dari
soal 4-9. Jawab: + 300 kN, +1350 kN-m.
4-19. ltitunglah komponen-komponen gaya
rcaksi pada titik A dan B. dan hitunglah gaya
aksial. ~escr dan nwmen lentur pada irisan
a-a dari tiang kayu 300 X 300 mm.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 127
Kabel 300 x .~00 mm
__- --..:4_ __, f..- ---..:J=,s-.1122
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4-19
4-20. Untuk struktur planar yang terlihat dalam
gambar, tentukanlah gay a aksial, geser dan
momen lentur pada irisan a-o.
45kN
GAMBAR SOAL 4 - 20
4-21. Sebuah dongkrak hidraulis menggunakan
suatu gaya ke bawah sebesar 5400 N pada hubungan
yang terlihat dalam gambar. Berapakah
bcsar gaya aksial. gl·ser dan mnm~n lentur pada
irisan a.a yang discbabkan oleh pemakaian gay a
ini? Semua ukuran dalam m~ter.
GAMBAR SOAL 4-21
4-22 sampai 4-33. Untuk struktur-struktur
planar yang diperlihatkan dalam gambar-gambar
yang berikut, tentukanlah gaya aksial, gaya
geser dan momen lentur pada irisan-irisan a.a,
b-b, c-c, dan d-d di mana besaran-besaran tersebut
bekerja. Abaikanlah berat struktur tersebut.
_Pada setiap kasus, gambarlah diagram
benda-bebas dari bagian yang diisolasikan dari
struktur tersebut, dan dengan jelas perlihatkanlah
keadaan dari bemran-besaran yang dihitung.
Beberapa irisan terlihat berdekatan antara sesamanya.
Dalam keadaan ini, tentukanlah
besaran-besaran yang ditanyakan di atas, sedikit
Qi sebelah kiri dan sedikit di sebelah kanan dari
titik dalam pertanyaan tersebut, dengan menganggap
le bar dari anggota bangunan adalah kecil
sekali. Jawab: Jawaban untuk beberapa soal diberikan
sebagai berikut: gay a. aksial, geser dan
momen. Tanda untuk geser dan momen berlaku
hanya untuk struktur horisontal.
Soal. 4-22. -30 kN, +20 kN, + 30 kN-m.
Soal. 4-25. +lOkN, + 5 kN, + 2,5 kN.m.
2,4 m 2,4 m
GAMBAR SOAL 4 - 22
Batang segiempat
berat total61,2 N
Tumpuan licin
JOO
111111
--------·---1--------'L
-WO mm
GAMBAR SOAL 4 - 23
128 MEKANIKA TE~NIK
GAMBAR SOAL 4 - 24
GAMBAR SOAL 4 - 28
I m 25 kN
54 m
c
B
I m I m
GAMBAR SOAL 4 - 25
GAMBAR SOAL 4 - 29
GAMBAR SOAL 4 - 26 1,8 m
125 kN
I ,2 m
GAMBAR SOAL:4- 27 GAMBAR SOAL 4 - 30
GAVA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 129
GAMBAR SOAL 4 - 31
~~------~~50kN
E
E
,.-,
GAMBAR SOAL 4 - 32.
GAMBAR SOAL 4-33
4-34. Tentukanlah gaya aksial, geser dan
momen lentur pada irisan a-a. Tidak ada hu-
GAMBAR SOAL 4 - 34
bungan antara batang-batang AD dan BC di
titik E.
4-35 sampai 4-40. Buatlah plot diagram gaya
geser dan momen untuk balok yang dibebani
seperti yang terlihat dalam gambar. Jawab: momen
maksimum terdapat dalam tanda kurung
pada masing-masing gambar soal yang bersangkutan.
·
( +24)
GAMBAR SOAL 4 - 35
M,
~- L r (+M,)
GAMBAR SOAL 4 - 36
(-M,)
GAMBAR SOAL 4-37
(500)
GAMBAR SOAL 4 - 38
50 N
(20)
GAMBAR SOAL 4 - 39
130 MEKANIKA TEKNIK
p M= Pa
(~Pa)
GAMBAR SOAL 4 - 40
4-41 sampai 4-43. Untuk balok-balok yang dibebani
seperti yang terlihat dalam gambargambar
soal yang berikut, tulislah pernyataan
aljabar dari gaya geser dan momen lentur
untuk selang AB. Jawab: Soal 4-42: M = t k
(L'x-x3
).
A r 8 ~ a, h if
1--L-------1
GAMBAR SOAL 4-41
kL ~
GAMBAR SOAL 4 - 42
30 kNfm
·'~s~:l "4m" ~
----1
GAMBAR SOAL 4 - 43
4-44. Tulislah persamaan aljabar umum untuk
gaya aksial, geser dan momen lentur untuk
balok lengkung dari Contoh 4-8. Jawab: M= Pr
sin <X.
4-45. Sebuah batang berpenampangsikuempat
yang dibengkokkan menjadi berbentuk setengah
lingkaran, terpasang tetap pada salah satu
ujungnya sedang seluruh batang mendapat
tekanan radial dalam sebesar p N per satuan
panjang (lihat gambar). Tulislah pernyataan
umum untuk P(O), V(O) dan M(O) dan plot hasilnya
dalam diagram kutub. Perlihatkan arah
positif yang diandaikan untuk P, V dan M pada
diagram benda bebas. Jawab: M = pr2 (1 -
cos 0).
p N/m
Radius batang = R
GAMBAR SOAL 4 -45
4-46. Sebuah batang dibuat dalam bentuk sebuah
siku-siku seperti terlihat dalam gambar
dan terpasang tetap pada salah satu ujungnya.
(a) Tulislah pernyataan umum untuk V, M dan
T (momen puntir) yang disebabkan oleh penggunaan
suatu gaya F yang tegaklurus terhadap
bidang batang yang dibengkokkan tersebut.
Plotlah hasilnya. (b) Bila sebagai tambahan terhadap
gaya terpakai F di atas, ditinjau pula berat
batang sebesar w N per satuan panjang, maka
sistem komponen gaya dalam apakah yang
akan terbentuk pada ujung batang yang terpasang
tetap? Jawab: (a) M= -F (L - x), (b) M=
-(F + aw + lh.wL)L.
y
z
l
GAMBAR SOAL 4 - 46
(Catatan: Untuk soal-soal tambahan lihatlah Bab 10).Gaya Aksial
Geserdan
Momen Lentur
4-1 PENDAHULUAN
Efek gaya aksial terhadap batang yang lurus telah dikemukakan pada Bab-bab I
dan 2. Puntiran dari batang lurus telah dibahas pula pada Bab 3. Secara intuit if jelaslah
bagi para pembaca bahwa yang kita sebut ini bukanlah hanya macam gaya yang dapat
bekerja pada sebuah batang. Pada kenyataannya , dalam banyak bagian bangunan teknik,
gaya perlawanan bekerja secara lateral dan transversal terhadap sumbu-sumbu bagian tersebut.
Jenis bagian konstruksi seperti ini dinamakan balok (beam). Ber~agai penggunaan
dari balok dapat ditemui pada struktur dan mesin. Bagian utama yang mendukung lantai
bangunan adalah balok , begitu pula sebuah gandar dari mobil juga adalah balok . Dengan
bahan-bahan yang modern, maka balok merupakan bagian konstruksi yang menonjol.
Penentuan sistem gaya-gaya dalam yang diperlukan untuk keseimbangan setiap bagian
balok akan merupakan pokok utama dari bab ini.*
Balok mungkin berbentuk lurus atau melengkung, tetapi bab ini akan memusatkan
pembahasan pada balok lurus. Balok-balok lurus banyak sekali terdapat dalam praktek;
lebih lanjut, sistem gaya-gaya pada suatu irisan sebuah balok lurus sama dengan balok
lengkung. Jadi, bila sifat dari balok lurus dapat dimengerti, maka tidak banyak yang dibutuhkan
lagi untuk memahami balok lengkung. Untuk menyederhanakan pekerjaan
bab ini,t maka gaya-gaya yang bekerja pada balok tersebut akan diandaikan terletak
pada bidang yang sama , yaitu , suatu masalah balok "planar" akan dibahas secara
tersendiri. Selanjutnya, meskipun pemasangan yang sesungguhnya dari suatu balok
* !si dari bab ini mungkin dikenal nleh beberapa {>embaca. Meskipun demlkian, adalah baik sekali
untuk meninjau kembali bahan-bahan yang dikemukakan di sini. Pengetahuan sepenuhnya dari
bahan ini haruslah dipunyai sebelum membahas bab~bab yang menyusul.
t Lihat Bab 7 untuk pembahasan masalah yang lebih umum.
102 MEKANIKA TEKNIK
mungkin tegak, condong atau mendatar, maka untuk tepatnya balok-balok yang dibahas
di sini akan kelihatan dalam kedudukan mendatar. Semua balok yang ditinjau akan
ditentukan secara statis, yaitu reaksi selalu dapat ditentukan dengan penggunaan persamaan
keseimbangan statis.
Untuk batang beban aksial atau puntiran yang telah kita tinjau sebelum ini, hanya
satu gaya dalam yang dibutuhkan pada suatu irisan untuk memenuhi keadaan keseimbangan.
Tetapi umumnya, suatu sistem tiga komponen gaya dalam dapat diakui pada
sebuah irisan sebuah balok. Besaran-besaran ini akan ditentukan dalam bab ini dengan
mengisolasi · bagian-bagian dari balok serta menggunakan syarat-syarat keseimbangan
kepada bagian-bagian balok tersebut. Penelaahan hubungan gaya-gaya ini dengan tegangan
yang diakibatkan oleh gaya-gaya tersebut dalam balok tersebut akan dibahas dalam
dua bab yang berikutnya.
4-2 KAIDAH DIAGRAMATIS UNTUK TUMPUAN
Dalam mempelajari perbalokan penting sekali untuk memakai kaidah-kaidah
diagramatik urituk tumpuan balok tersebut dan pembebanan yang disebabkan oleh
bermacam-mi;lcam tumpuan dan berbagai variasi dari beban yang mungkin. Penguasaan
yang cermat dari dan ketaatan kepada kaidah-kaidah demikian akan menghindari
ban yak keraguan dan memperkecil kemungkinan membuat kesalahan. Kaidah-kaidah ini
membentuk bahasa bergambar bagi para ahli teknik. Sebagai disebutkan dalam pendahuluan,
untuk mudahnya, maka balok-balok tersebut biasanya terlihat dalam kedudukan
yang horizontal (mendatar).
Ada tiga macam tumpuan yang dikenal pada balok yang dibebani oleh gaya yang
bekerja dalam bidang yang sama. Ha! ini ditunjukkan oleh macamnya perlawanan yang
diberikan balok tersebut terhadap gaya tersebut. Salah satu jenis dari tumpuan secara
fisis dinyatakan dengan sebuah !QLatau sebuah penghubung. Alat ini mampu melawan
gaya dalam Slf!ltU garis_f!~iyangspesifik. Penghubungyangterlihat pada Gambar 4-l(a)
dapat rpelawan gaya hanya dalarn arah garis AB. Rol pada Gambar 4-1 (b) hanya dapat
melawan gaya yang vertikal, sedang rol-rol yang terlihat dalam Gambar 4-l(c) hanya
dapat melawan suatu gaya yang tegaklurus terhadap bidang CD. Dalam buku ini jenis
tumpuan ini akan biasa dilambangkan oleh tumpuan sebagai y'llng terlihat dalam Gambar-
gambar 4-1 (b) dan (c), dan kit a akan memahami bahwa tumpuan rol sanggup me lawan
gaya dalam arah mana pun* sepanjang garis aksi dari gaya reaksL Untuk: menghfndari
kedua pengertian ini; silatu penghubung skematik adakalanya dilakukan untuk
menunjukkan bahwa gay a reaksi dapat bekerja dalam tiap arah (lihatlah Gambar 4-4 ).
Suatu reaksi dari jenis tumpuan ini sesuai dengan suatu yang tidak diketahui yang
tunggal bila persamaan-persamaan statika digunakan. Untuk reaksi-reaksi yang miring,
maka perbandingan antara kedua komponen adalah tetap (lihatlah Contoh 1-3 ).
* Ha! ini secara tidak langsung menyatakan bahwa dalam disain yang sesungguhnya sebuah penghubung
harus diadakan bila gaya reaksi bekerja menjauhi balok, dengan perkataan lain, balok tersebut
tidak diperbolehkan terangkat dari tumpuan tersebut pada titik A dalam Gambar 4-l(b). Pada
gambar ini mungkin menolong untuk memperlih;itkan rol tersebut di atas balok tersebut dalam ha!
reaksi yang ke bawah, dengan.maksud menjelaskan bahwa balok tersebut terbatas menghadapi gerak
ke atas secara vertikal pada tumpuan tcrscbut. Praktek ini biasanya akan diikuti oleh buku ini.
(a)
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MDMEN LENTUR 103
Balok
Penghubung
(b)
Gambar 4-1 Tumpuan jenis penghubung dan rol (kemungkinan garis aksi dari reaksi
diperlihatkan oleh garis-garis putus).
Jenis tumpuan lain yang mungkin digunakan adalah pasak (pin). Dalam menggambar
sebuah tumpuan seperti di atas dicapai dengan menggunakan perincian seperti yang terlihat
dalam Gambar 4-2(a). Dalam buku ini tumpuan-tumpuan yang demikian dilambangkan
secara diagramatis seperti yang diperlihatkan oleh Gambar 4-2(b). Tumpuan
yang berpasak mampu melawan gaya yang bekerja dalam setiap arah dari bidang. Jadi,
pada umumnya, reaksi pada suatu tumpuan seperti ini mempunyai dua komponen, yang
satu dalam arah horizontal dan yang lainnya dalam arah vertikal. Tidak seperti pada
perbandingan pada tumpuan rol atau penghubung, maka perbandingan antara kompo.
nen-komponen reaksi pada tumpuan yang berpasak.Jidak/ah tetap~. Untuk menentukan
kedua komponen ini, dua buah persamaan statika harus digunakan.
Tumpuan jenis ketiga yang digunakan untuk balok mampu melawan gaya dalam
setiap arah dan juga mampu melawan suatu kopel atau momen. Secara fisis, tumpuan
seperti itu diperoleh dengan membangun sebuah balok ke dalam suatu dinding batu
bata, mengecornya ke dalam beton, atau melas ujung balok ke dalam bangunan utama.
Suatu sistem tiga gaya dapat muncul pada tumpuan demikian, yaitu dua komponen gaya
dan sebuah momen. Tumpuan ini disebut tumpuan jepit (fixed support) yaitu ujung
yang tertanam tersebut adalah jepit, atau dijaga untuk tidak berputar. Kaidah standar
yang menunjukkan ha! ini terlihat dalam Gambar 4-3.
4
(a) (b)
Gambar 4-2 Tumpuan yang berpasak:
(a) sesungguhnya, (b) diagramatis
r--~------------~ L- ?J;t-------------'
Gambar 4-3 Tumpuan jepit
Untuk membedakan tumpuan jepit dari tumpuan-tumpuan rol dan pasak yang tidak
mampu melawan momen, maka dua yang kemudian disebut tumpuan sederhana. Gambar
4-4 menyimpulkan perbedaan yang terdahulu antara ketiga jenis tumpuan dan
macam perlawanan yang diambil oleh masing-masing jenis tersebut. Para ahli teknik
praktis biasanya menentukan tumpuan tersebut sebagai salah satu dari ketiga jenis ter104
MEKANIKA TEKNIK
r Melawan gaya-gaya
horisontal dan vertikal
r""lk=-L ..
Hanya melawan gaya vertikal saja
Tumpuan-tumpuan sederhana
Gambar 4-4 T1ga jenis tumpuan yang umum
Melawan gaya-gaya
horisontal dan vertikal
dan momen
Tumpuan jepit
sebut di atas dengan "pertimbangan", meskipun dalam struktur yang sesungguhnya,
tumpuan-tumpuan dari balok tidak selalu dengan jelas dapat dimasukkan ke dalam klasifikasi
ini. Suatu pembahasan yang lebih lanjut mengenai aspek masalah ini adalah di luar
lingkup buku ini.
4-3 KAIDAH DIAGRAMATIS UNTUK PEMBEBANAN
Balok didatangkan untuk menumpu bermacam-macam beban. Acapkali suatu gaya
diberikan kepada balok, melalui sebuah tonggak, sebuah anggar atau sekelompok
bangunan yang memakai baut seperti yang terlihat dalam Gambar 4-S(a). Susunan demikian
mempergunakan gaya terhadap bagian balok yang sangat terbatas dan diidealisasikan
untuk tujuan-tujuan analisis balok sebagai gaya terpusat. Ha! ini secara diagramatis
dapat dilihat dalam Gambar 4-S(b). Pada pihak lain, dalam banyak ha! gaya-gaya tersebut
berlaku pada bagian yang kecil dari balok. Umpamanya, dalam sebuah gudang
barang-barang boleh ditumpuk sepanjang sebuah balok. Gaya-gaya demikian disebut
beban-beban yang terdistribusi.
w
(a) (b)
Gambar 4-5 Pembebanan terpusat pada sebuah balok (a) yang sesungguhnya
(b) yang diidealisasikan
Banyak jenis-jenis beban yang terdistribusi yang terjadi. Diantaranya, ada dua
macam beban yang terutama sekali penting: beban yang terdistribusi secara merata dan
GAVA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 105
beban yang bervariasi secara merata. Jenis beban yang pertama dengan mudah dapat
merupakan suatu idealisasi dari muatan gudang yang baru saja disinggung, di mana
barang-barang yang sejenis ditumpuk mencapai ketinggian yang sama di sepanjang balok
tersebut. Demikian juga balok itu sendiri, bila luas penampang adalah tetap, merupakan
suatu gambaran yang bagus dari pembebanan yang sama jenisnya. Suatu keadaan yang
nyata dan idealisasi diagramatis dari ha! di atas· terlihat pada Gambar 4-6. Beban ini
biasa dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang balok, kecuali disebutkan yang sebaliknya.
Dalam satuan SI ia boleh ditulis sebagai newton per meter (N/m), atau kilonewton
per meter (kN/m).
(a)
Beban terdistribusi merata
barang + balok w, N/m
(b)
Gambar 4-6 Pembebanan yang terdistribusi (a) sesungguhnya (b) idealisasi
Beban-beban yang bervariasi secara merata bekerja pada dinding yang vertikal dan
miring dari suatu bejana berisi zat cair. Ini dilukiskan pada Gambar 4-7 di ma-na diambil
bahwa balok vertikallebamya satu meter sedang satuan massa zat cair adalah 'Y (kg/m3 ).
Untuk pembebanan jenrs ini, harus diperhatikan benar bahwa intensitas maksimum
beban q0 Nfm hanya berlaku pada suatu panjang yang kecil takberhingga dari balok.
Besarnya dua kali intensitas tekanan rata-rata. Jadi gaya total yang digunakan oleh
pembebanan seperti ini pada suatu balok adalah (q 0h/2) N, dan resultantenya bekerja
pada jarak h/3 di atas dasar bejana. Dasar horizontal dari bejana yang berisi zat cair
mendapat beban secara merata.
Be ban
~
q" N/m (max) ~ y·h·l·g
Gambar 4-7 Pembebanan hidrostatik
pada dinding vertikal
Akhirnya, ada kemungkinan untuk membebani balok den_gan suatu momen terpusat
yang dibcrikan pada balok tersebut, tepatnya pada suatu titik. Salah satu susunan yang
mungkin untuk menggunakan momcn tcrpusat dapat dilihat dalam Gambar 4-8(a). dan
106 MEKANIKA TEKNIK
(a)
w
=1- ~k
(b)
Gambar 4-8 Metoda penggunaan momen terpusat pada suatu balok
(c)
lambang diagramatis yang digunakan dalam buku ini dapat dilihat dalam Gambar
4-8(c).
Keinginan untuk suatu pengertian yang lengkap mengenai pernyataan lambang
untuk tumpuan dan gaya seperti yang telah dibahas tidak perlu mendapat perhatian
yang lebih besar lagi. Yang perlu diperhatikan adalah macam perlawanan yang diambil
oleh berbagai jenis tumpuan dan cara menyatakan gaya-gaya pada tumpuan yang demikian.
Catatan-catatan ini akan berguna untuk membangun diagram benda bebas dari
balok.
4-4 KLASIFIKASI BALOK
Balok diklasifikasikan ke dalam beberapa kelompok, terutama tergantung pada
macam tumpuan yang digunakan. Jadi bila tumpuan tersebut berada pada ujung-ujung
dan pada pasak atau rol, maka balok tersebut disebut tumpuan yang sederhana atau
balok sederhana, lihat Gambar 4-9(a) dan (b). Balok tersebut menjadi balok jepit a tau
balok ujung jepit, Gambar 4-9( c), bila ujung-ujungnya mempunyai tumpuanjepit. Balokbalok
demikian disebut juga balok pengekang (restrained beams) bila ujungnya "dikekang"
untuk tidak berputar. Suatu balok terjepit pada salah sa tu ujung dan bebas
sempurna pada ujung yang lain, mempunyai nama khusus, yaitu balok kantilever,
Gambar 4-9(e).
Bila balok dibangun melewati tumpuan, maka balok tersebut dikatakan tergantung.
Jadi balok yang terlihat dalam Gambar 4-9{0 adalah balok yang tergantung. Bila tumpuan-
tumpuan antara terdapat pada batang kontinu secara fisis bekerja seperti balok,
Gambar 4-9(g), maka balok tersebut dinamakan balok kontinu (menerus).
Untuk semua balok tersebut di atas jarak L antara tumpuan disebut bentang (span).
Pada balok kontinu terdapat beberapa bentang yang panjangnya mungkin berbeda-beda.
Sebagai tambahan terhadap pengklasifikasian balok berdasarkan kepada tumpuan,
maka sering pula dipakai ungkapan-ungkapan yang deskriptif mengenai macam pembebanan
yang digunakan. Jadi balok yang terlihat daia~ Gambar 4-9(a) adalah balok
sederhana dengan beban terpusat, sedang yang terlihat dalam Gambar 4-9(b) adalah
balok sederhana dengan beban yang terdistribusi merata. Jenis balok yang lain dapat
pula dilukiskan secara yang sama.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 107
(0 !' I ! 'l
(b) I· L .[
Balok turnpuan sederhana
I I I (c) L I
Balok terjepit
I ' ' j (d) , __ L
Balok terjepit pada sa tu ujung dan
berturnpuan sederhana pada ujung lain
I ' '''''''''''! .I (e) I• L
Kantilever
f 1 "¥ "l (t) L
Balok overhang (tergantung)
' ' ' rm
Balok kontinu (rnenerus)
Gambar 4-9 Jenis-jenis balok
Untuk kebanyakan tugas dalam mekanika bahan, adalah berfaedah pula untuk
mengelompokkan lebih lanjut balok-balok tersebut ke dalam balok-balok statis tertentu
(statically determinate) dan statis tak tentu (statically indeterminate). Bila ·balok tersebut
yang dibebani dalam sua tu bidang adalah statis tertentu, maka jumlah komponen:
komponen reaksi yang tidak diketahui tidak akan melebihi tiga. Komponen yang tidak
diketahui ini selalu dapat ditentukan dari persamaan keseimbangan statika. Pasal yang
berikut dengan ringkas meninjau kembali metoda-metoda statika untuk menghitung
reaksi untuk balok-balok statis tertentu. Sedang penyelidikan mengenai balok statis
tak ten tu akan kita tunda sampai Bab 11.
4-5 PERHITUNGAN REAKSI BALOK
Semua tugas dengan balok yang berikut akan diawali dengan penentuan gaya reaksi.
Bila scmua gaya-gaya bekerja dalam satu bidang, maka tiga persamaan keseimbangan
statika harus tersedia untuk tujuan ini. Yaitu L Fx = 0, L Fy = 0 dan L M2 = 0, yang
telah kita bicarakan dalam Bab 1. Untuk balok lurus dalam kedudukan yang horizontal,
maka sumbu-x akan diambil sebagai arah yang horizontal, sumbu y untuk arah
yang vertikal dan sumbu z yang tcgaklurus terhadap bidang·kertas. Penggunaan ketiga
pcrsamaan pada beberapa persoalan balok dilukiskan di bawah dan dimaksudkan untuk
berlaku scbagai pcninjauan kcmbali dari prosedur yang penting ini. Deformasi dari
108 MEKANIKA TEKNIK
balok, sangat kecil, hingga dapat diabaikan bila persamaan-persamaan· di atas digunakan.
Untuk balok-balok yang stabil sejumlah kecil dari deformasi yang mengambil bagian
dalam merl.lbah titik-titik tangkap gaya-gaya tidaklah terlihat.
CONTOH 4-1
Hitunglah reaksi pada tumpuan untuk ;balok sederhana berbeban seperti yang terlihat
dalam Gambar 4,10(a). Abaikanlah berat dari balok.
(a)
200 N·m 160 N
(p)
Gari.l:bar 4-10
PENYELESAIAN
Pembebanan dari balok telah diberikan dalam bentuk diagramatis. Hakekat dari tumpuan
akan dibahas sesudah ini, dan komponen-komponen yang tidak diketahui dari
reaksi ini dengan tegas ditunjukkan pada diagram. Balok tersebut, dengan komponenkomponen
reaksi yang tidak diketahui dan semua gaya-gaya terpakai, digambarkan
kembali dalam Gambar 4-1 O(b) untuk dengan sengaja menekankan langkah penting ini
dalam membangun diagram benda bebas. Pada titik A, dua komponen reaksi mungkin
ada, karena ujungnya diberi pasak. Reaksi di titik B dapat bekerja hanya dalam arah
vertikal karena ujung terletak di atas rol. Titik-titik tangkap dari semua gaya secara
cermat harus diperhatikan. Sesudah diagram benda bebas dari balok dibuat, maka
penyelesaian dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan-persamaan statika.
L Fx ~= 0 RAx 0
L MA~= 0 ~) +, 200 + (100)(0,2) I ( 160)(0,3) Rn(OA) 0
Rn · I 670 N t
L Mn ou f. RAy(0,4) I 200 ( 100)(0,2) (160)(0,1) 0
RAv 410 N t
GAYA AKSIAL -GESER- DAN MOMEN LENTUR 109
Periksa:
I; Fy = 0 i +, -410 - 100- 160 + 670 = 0
Perhatikanlah bahwa ~ Fx = 0 menyelesaikan satu dari tiga persamaan statika yang
bebas, hingga hanya dua komponen reaksi tambahan yang dapat ditentukan dari statika.
Bila yang muncul pada tumpuan adalah lebih ban yak komponen reaksi dan momen yang
tidak diketahui, maka soal tersebut menjadi statis tak tentu. Dalam Gambar 4-9 balokbalok
yang diperlihatkan pada (c), (d) dan (g) adalah balok-balok statis tak tentu
dan boleh dibuktikan dengan memeriksa sejumlah komponen reaksi yang tidak diketahui.
(Cobalah membuktikan pernyataan ini).
Perhatikan pula bahwa momen terpusat Yflllg bekerja pada titik C masuk hanya ke
dalam tanda penjumlahan momen. Tanda positif dari Rn menunjukkan bahwa arah Rn
sesuai dengan anggapan dalam membuat Gambar 4-IO(b). Sebaliknya yang terjadi
dengan arah RAy di mana arah vertikal dari reaksi di titik A adalah ke bawah. Perhatikanlah
bahwa pemeriksaan pekerjaan menghitung tersebut di atas akan didapat bila
perhitungan-perhitungan dilakukan menurut yang telah diperlihatkan di atas.
PENYELESAIAN DENGAN CARA LAIN
Dalam menghitung gaya-gaya reaksi beberapa insinyur lebih menyukai membuat perhitungan
dengan cara yang ditunjukkan oleh Gambar 4-11. Pada dasarnya ini melibatkan
penggunaan dasar-dasar yang sama. Hanya perinciannya yang berlainan. Reaksi untuk
setiap gaya ditentukan satu persatu sekaligus. Reaksi total diperoleh dengan menjumlahkan
semua reaksi ini. Prosedur ini membolehkan pemeriksaan seketika terhadap perhitungan
yang sedang dilakukan. Untuk setiap gaya maka jumlah gaya-gaya reaksinya
harus sama dengan gaya tersebut itu sendiri. Umpamanya untuk gaya 160 N, mudah dilihat
bahwa gaya-gaya reaksi ke at as adalah 40 N dan 120 N dan berjumlah 160 N. Pad a
'"i.Ms~ of
0,1 m
t 200 X 1/(0,4) = 500 N
100 X (0,2) (0.4) = 50 N
160 X (0,1) (0,4) = 40 N
500 N 90 N
Rly = 410 N l
0,1 m 0,1 m 0,1 m
04 m
Gambar 4-11
t '"i.MA ~ 0
500 N = 200 x I ,-(0,4) (momen )
50 N = 100 x (0,2l/(0,4l c gaya too N 1
120 N = 160 x (0,3) (0.4) C gaya 160 NJ
R8 = 670 N t
(aJ
110 MEKANIKA TEKNIK
pihak lain, momen terpusat di titik C adalah sebuah kopel dan mendapat perlawanan
dari sebuah kopel juga. Hal ini menyebabkan suatu gaya ke atas sebesar 500 N pada
reaksi kanan dan gaya ke bawah sebesar 500 N pula pada reaksi sebelah kiri.
CONTOH 4·2
Hitunglah gaya-gaya reaksi balok berbeban sebagian dengan beban bervariasi dengan
merata seperti yang terlihat dalam Gambar 4-12(a). Abaikanlah berat dari balok.
P = x 3 x I 00 = 150 N
3m
5m 3m
5m
(b)
Gambar 4-12
PENYELESAIAN
Pemeriksaan terhadap keadaan tumpuan menunjukkan ada tiga komponen gaya reaksi
yang tidak diketahui, hingga balok tersebut termasuk yang statis tertentu. Hal ini serta
be ban yang bekerja diperlihatkan dalam Gambar 4-12(b ). Terutama harus diperhatikan
bahwa susunan batang tersebut tidaklah penting dalam menghitung gaya reaksi. Gambar
yang bentuknya kasar yang tidak mirip dengan balok yang sesungguhnya dapat dilihat
pada gambar untuk menekankan pendapat ini. Tetapi benda baru yang digambarkan ini
haruslah ditumpu pada titik-titik A dan B dengan cara yang sama dengan balok yang
asli.
Untuk menghitung gaya-gaya reaksi maka beban yang terdistribusi digantikan oleh
gaya P yang setara. Gaya ini bekerja melalui titik berat gaya-gaya yang terdistribusi.
Besaran-besaran yang bersangkutan ini diberikan tanda pada sketsa kerja. Gambar
4-12(b). Setelah diagram benda bebas dibuat, maka penyelesaian diperoleh dengan
mempergunakan persamaan-persamaan keseimbangan statis.
~ Fx = 0 RAx .c 0
~MA= 0() +, +(150)(2) .. R8(5) -c 0, Rn 60N 1
~Mno~cOC)+, - RAy(5) + (150)(3) ' 0, RAy. 90N 1
Periksa:
~ Fy . 0 ! +, ... 90 f 150 60 0
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 111
CONTOH 4-3
Tentukanlah gaya-gaya reaksi di titik A dan B untuk balok yang "tidak berberat" seperti
yang terlihat dalam Gambar 4-13(a).
16 kN
20 kN
B Ra_,
4m
R,, .J~
~4~~1~'~n.~~----~J~nl~--~J Ra
(a) (b)
Gambar4-13
PENYELESAIAN
Diagram benda bebas terlihat dalam Gambar 4-13(b ). Pada titik A ada dua komponen
gaya reaksi yang tidak diketahui, yaitu RAx dan RAy. Pada titik B gaya reaksi RB
bekerja tegaklurus pada bidang tumpuan dan memberikan suatu harga yang tidak diketahui
yang tunggal. Adalah bijaksana untuk menggantikan gaya ini dengan dua komponen
RBy dan RBx yang dalam soal yang khusus ini mempunyai harga yang sama.
Demikian pula, adalah sangat baik mengganti gaya yang miring dengan dua komponen
seperti yang diperlihatkan. Langkah-langkah ini mengurangi masalah di mana semua
gaya-gaya adalah horizontal atau vertikal. lni baik sekali dalam menggunakan persamaan
keseimbangan statis.
~MA =00 +,
~MB =00 +,
~ F_, = 0 -> +.
+(16)(1) - RBy(4) = 0,
+RAy(4) - (16)(3) = 0,
+ RA< -- 12 --- 4 = 0,
3~
I
RB = '\1"42 -! 42 = 4J2 kN ~ I
Periksa:
I 12 - 16· I 4 = 0
4-6 APLIKASI METODA IRISAN
RBy = 4 kN t = I RBx J
RAy=l2kNt
RAx = 16 kN ->
Tujuan utama dari bab ini ialah untuk memantapkan cara !llenentukan gaya yang
terdapat pada sebuah irisan dari balok. Untuk mendapatkan gaya-gaya ini, maka sekarang
akan digunakan metoda irisan, yaitu pendekatan dasar dari mekanika bahan.
112 MEKANIKA TEKNIK
Penelaahan setiap balok dimulai dengan membuat diagram benda bebas. Gaya reaksi
selalu dapat dihitung dengan mempergunakan persamaan-persamaan keseimbangan, selama
balok tersebut merupakan statis tertentu. Sistem yang lengkap dari gaya-gaya yang
menjaga balok tersebut berada dalam keseimbangan dengan demikian dapat disusun,
sedang dalam langkah-langkah analisis yang berikut tidak diperlukan membuat perbedaan
antara gaya terpakai dan gaya reaksi. Metoda irisan selanjutnya dapat digunakan
untuk setiap irisan dari balok dengan mengerjakan konsep yang dipakai terdahulu di
mana bila keseluruhan benda berada dalam keseimbangan maka setiap bagian dari benda
tersebut berada pula dalam keseimbangan.
Untuk lebih khusus, tinjaulah sebuah balok seperti yang digambarkan dalam Gambar
4-14(a) dengan gaya-gaya terpusat dan terdistribusi yang bekerja terhadapnya. Gayagaya
reaksi telah dianggap pula lebih dahulu sebagai besaran yang diketahui karena
dapat dihitung seperti pada contoh-contoh soal yang telah kita tinjau lebih dahulu
dalam Pasal 4-5. Gaya-gaya terpakai luar serta gaya-gaya reaksi pada tumpuan menjaga
keseluruhan benda berada dalam keadaan seimbang. Sekarang tinjaulah suatu irisan
khayal X-X yang tegaklurus terhadap sumbu balok yang memisahkan balok menjadi
dua segmen seperti yang terlihat dalam Gambar-gambar 4-14(b) dan (c). Terutama perhatikanlah
bahwa irisan khayal tersebut melalui beban yang terdistribusi dan memisahkan
pula menjadi dua. Masing-masing segmen balok ini adalah benda bebas yang harus
berada dalam keseimbangan. Tetapi syarat keseimbangan membutuhkan adanya suatu
sistem gaya pada irisan dari balok tersebut. Pada umumnya pada sebuah irisan sebuah
balok suatu gaya vertikal, gaya horisontal dan suatu m6men diperlukan untuk mempertahankan
bagian balok terse but berada dalam keseimbangan. Besaran-besaran. ini mempunyai
arti yang khusus dalam balok dan karena itu akan dibahas secara terpisah.
W1 ·(beba\n b7ariasi mera~ total) dJ9 / W, (bobm toW)
p_~ , I I, ' ' ' \ ;};:
X A~~-
(a) t ~> l ' R 1y Ru
~PI w,
rTTl ~
/J
(c)
!11---RI>
R ly 1/?/1
Gambar 4-14 Penggunaan metoda irisan
pada balok statis tertentu
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 113
4-7 GESER DALAM BALOK
Untuk mempertahankan segmen balok seperti yang terlihat dalam Gambar 4-14(b)
berada dalam keseimbangan maka pada irisan harus ada sua tu gaya dalam vertikal V yang
memenuhi persamaan L Fy = 0. Gaya dalam V ini, yang bekerja tegaklurus pada sumbu
balok, disebut geser atau gaya geser (shearing force). Gaya geser secara numerik adalah
sama dengan jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya-gaya luar yang bekerja
pada segmen yang terisolasi, tetapi dengan arah yang berlawanan. Dengan data kualitatif
yang ditunjukkan oleh Gambar 4-14(b) maka V mempunyai arah yang berlawanan
dengan beban yang ke bawah di sebelah kiri irisan. Gaya geser pada irisan dapat pula
dihitung dengan meninjau segmen balok yang sebelah kanan seperti yang terlihat dalam
Gambar 4-14(c). Geser ini secara numerik sama dan berlawanan arah dengan jumlah
semua gaya vertikal, termasuk komponen gaya-gaya reaksi yang terdapat di sebelah
kanan irisan. Apakah segmen yang sebelah kanan atau sebelah kiri yang dipergunakan
untuk menentukan gaya geser pada irisan, tidaklah penting, yang menentukan adalah
kesederhanaan dalam perhitungan. Geser pada irisan yang lain dapat pula dihitung
dengan cara yang serupa.
Pada waktu ini suatu pengamatan yang berarti haruslah kita buat. Geser yang
sama yang terlihat dalam Gambar-gambar 14(b) dan (c) pada irisan X-X dalam kedua
diagram mempunyai arah yang berlawanan. Untuk yang bagian beban W1 yang mengarah
ke bawah pada sebelah kiri irisan X-X, balok pada irisan tersebut mempunyai
sebuah tumpuan ke atas untuk membuat gaya vertikal berada dalam keseimbangan.
Sebaliknya, bagian balok yang dibebani tersebut menggunakan gaya arah ke bawah pada
balok tersebut seperti yang terlihat dalam Gambar 4-14(c). Pada irisan geser "dua
arah" haruslah dibedakan, tergantung kepada segmen balok yang mana yang ditinjau. Ini
Resultante semua gaya disebelah kiri irisan
t/ +V I +V (ct=J)
Segmen balok
(a) (b)
Gambar 4-15 Definisi dari geser positif
114 MEKANIKA TEKNIK
mengikuti konsep statika aksi-reaksi yang telah kita kenal dan yang telah terjadi dahulu
dalam kasus batang be ban aksial, dan kemudian dalam masalah puntiran.
Arah geser pada irisan X-X akan saling terbalik pada kedua diagram bila beban
terdistribusi W 1 bekerja ke atas. Acapkali keterbalikan yang serupa dalam arah geser
terdapat pada suatu irisan atau yang lain di sepanjang balok untuk pertirnbangan yang
akan menjadi jelas kelak. Pemakaian kaidah tanda adalah perlu untuk membedakan
antara kedua arah geser yang mungkin. Definisi dari geser positif digambarkan dalam
gambar 4-lS(a). * Sua tu gaya dalam ke bawah yang bekerja pada sebelah kiri dari suatu
irisan atau satu gaya ke atas di sebelah kanan dari irisan yang sama adalah suatu geser
positif. Geser positif untuk elemen yang diisolasi dari suatu balok oleh dua irisan diperlihatkan
dalam Gambar 4-IS(b). Sedang geser pada irisan X-X dari Gambar 4-14(a)
adalah suatu geser negatif.
4-8 GAYA AKSIAL DALAM BALOK
Sebagai tambahan pada gaya geser V, maka suatu gaya mendatar seperti P pada ·
Gambar 4-16(b) dan (c), mungkin diperlukan pada sebuah irisan sebuah balok untuk ·
m,emenuhi syarat keseirnbangan. Besar dan arti dari gaya ini akan mengikuti jawab
khusus dari persamaan ~ Fx = 0. Bila gaya horisontal P terse but bekerja terhadap irisan
1-tj (beba\n b:rvariasi mera:
1
total) d]B 1 w, (bebon tou•>
p_1 , I I, ' ' ' \ ;M
A~~ .
(a) X 1 .h 1
I R4,. RB
Gambar 4-16 Pemakaian metoda irisan
pada balok statis tertentu
(ulangan)
* Definisi geser positif adalah berlawanan dengan penyelesaian matematis yang tepat yanj!; berhubungan
dengan sistem Cartesian empat persegi panjang sebelah kanan. Bagaimana pun hal ini akan
digunakan di seluruh buku ini karena kaidah ini sangat banyak dipakai dalam kepustakaan teknik
untuk penyelesaian yang benar-benar konsisten, lihat umpamanya E.P. Popov, Introduction to
Mechanics of Solids, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1968.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MO MEN LENTUR 115
maka ia disebut gaya dorong (thrust); bila gaya tersebut menjauhi irisan, dinamakan
gaya tarik aksial (axial tension). Sehubungan dengan pembedaan gaya-gaya ini maka digunakan
pula sebutan gaya aksial. Pengaruh dari gaya aksial pada irisan sebuah batang
telah dibahas pula dalam Bab 1. Kita melihat bahwa penting untuk membuat gaya ini
melalui titik berat luas penampang untuk menghindari lenturan. Begitu pula bahwa
garis aksi gay a aksial selalu diarahkan melalui titik berat luas penampang dari balok.
Kita boleh pula memeriksa suatu irisan dari balok untuk menentukan besaran gaya
aksial dengan cara tersebut di atas. Gaya tarik pada sebuah irisan biasanya diambil positif.
Gaya aksial ( dorong) pada irisan X-X dalam Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) adalah
sama dengan gaya mendatar P2 •
4-9 MOMEN LENTUR DALAM BALOK
Penentuan gaya geser dan aksial pada sebuah irisan balok melengkapi dua syarat
statika yang harus dipenuhi oleh segmen. Gaya-gaya ini memenuhi persamaan ~ Fx = 0
dan ~ Fy = 0. Syarat keseimbangan statis yang tinggal untuk persoalan planar adalah
~ Mz = 0. Pada umumnya, ini dipenuhi hanya dengan membentuk sebuah kopel atau
momen perlawanan dalam (internal resisting moment) pada luas penampang dari irisan
untuk menghadapi momen yang disebabkan oleh gaya-gaya luar. Momen perlawanan
dalam tersebut haruslah bekerja dalam arah yang berlawanan dengan momen luar untuk
memenuhi persamaan ~ Mz = 0. Demikian pula dari persamaan yang sama diperoleh
bahwa besar momen perlawanan dalam adalah sama dengan momen luar. Momenmomen
ini cenderung untuk melenturkan balok dalam bidang beban dan yang biasanya
diartikan sebagai momen lentur (bending moments).
Momen lentur dalam M dapat ditunjukkan dalam Gambar 4-16(b ). Momen ini dapat
dibentuk hanya dalam daerah penampang balok dan setara dengan sebuah kopel. Untuk
menentukan momen ini perlu dijaga keseimbangan segmennya, jumlah momen yang
disebabkan oleh gaya-gaya dapat dibuat disekitar tiap titik dalam bidang; sudah tentu,
semua gaya dikalikan dengan lengan harus dimasukkan ke dalam penjumlahan ini. Tidak
terkecuali gaya-gaya dalam V dan P. Untuk mengeluarkan momen yang disebabkan oleh
gaya-gaya ini dari penjumlahan, lebih baik dalam persoalan-persoalan numerik ini untuk
memilih titik potong kedua gaya dalam ini sebagai titik di sekitar mana momen-momen
tersebui dijumlahkan. Pada titik ini kedua gaya V dan P ini mempunyai lengan yang
panjangnya adalah nol, yang terletak pada titik berat daerah penampang dari balok.
Di samping meninjau segmen sebelah kiri irisan X-X, maka segmen sebelah kanan
balok, seperti dalam Gambar 4-16(c), dapat pula digunakan untuk menentukan momen
lentur dalam. Sebagai diterangkan di atas, momen dalam ini sama dengan momen luar
gaya-gaya terpakai (termasuk gaya-gaya reaksi). Penjumlahan momen lebih baik dibuat
di sekitar titik be~at irisan pada potongan tersebut. Dalam Gambar 4-16(b) momen perlawanan
dapat ditafsirkan secara f1sis sebagai sua tu tarikan pada serat atas dan dorongan
kepada serat yang lebih bawah. Interpretasi yang sama dapat pula berlaku untuk momen
yang sama dalam Gambar 4-16(c).
116 MEKANIKA TEKNIK
+M +M
(a) (b)
Gambar 4-17 Definisi dari momen lentur positif
Bila beban W1 da1am Gambar 4-16(a) bekerja dalam arah yang berlawanan, maka
m omen perlawanan dalam Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) akan terbalik. Ha! ini dari
keadaan yang serupa memerlukan penggunaan kaidah tanda untuk momen lentur.
Kaidah ini berhubungan dengan tindakan fisis yang tertentu dari balok tersebut. Umpamanya,
pada Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) momen-momen dalam tersebut menunjukkan
tarik pada bagian atas dari balok dan menekan bagian yang lebih bawah. Ini cenderung
untuk memperbesar panjang permukaan atas dari balok dan memperpendek
bagian permukaan yang lebih rendah. Kejadian yang terus menerus dari momen-momen
seperti itu di sepanjang balok membuat balok tersebut berubah bentuk melengkung ke
atas, yaitu "tahan air". Momen lentur yang demikian diberi tanda negatif Sebaliknya,
momen yang positif didefinisikan sebagai yang menghasilkan tekan di sebelah atas dan
tarik di sebelah Jebih bawah dari suatu penampang balok. Dalam keadaan demikian
balok tersebut dianggap mempunyai bentuk "menyimpan air". Umpamanya, sebuah
balok sederhana yang mendukung suatu kelompok gaya ke bawah akan melengkung ke
bawah seperti yang diperlihatkan dalam bentuk yang berlebihan dalam Gambar 4-17(a),
suatu kenyataan yang dapat diduga secara langsung dengan intuisi. Pada balok seperti
itu, suatu pembahasan yang terperinci dari momen lentur sepanjang balok memperlihatkan
bahwa semua momen terscbut adalah positif. Pengertian momen lentur yang positif
pada sua tu irisan ditunjukkan dalam Gambar 4-17(b ).
4-10 DIAGRAM GESER, GAYA AKSIAL DAN MOMEN LENTUR
Dengan metoda yang dibahas di at as maka besaran dan arti dari gaya geser, gay a
aksial dan momen lentur dapat diperoleh pada berbagai irisan dari balok. Selanjutnya,
dengan memakai kaidah tanda untuk besaran-besaran ini, suatu plot dari harga-harganya
GAYA AKSIAL- GESER- OAN MOMEN LENTUR 117
dapat dibuat pada diagram-diagram yang terpisah Pada diagram-diagram tersebut
berdasarkan basis yang menyatakan panjang balok, maka ordinat menunjukkan besaranbesaran
yang dihitung. Bila titik-titik ordinat ini digambar dan dihubungkan oleh garis,
kita memperoleh pernyataan grafis dari fungsi-fungsi tersebut. Diagram-diagram ini
sesuai dengan macam besaran yang digambarkannya, yang berturut-turut disebut diagram
gaya geser, diagram gaya aksial, atau diagram momen lentur. Dengan bantuan
diagram demikian, maka besar dan letak berbagai besaran ini dengan segera menjadi
jelas. Adalah Jebih baik membuat plot ini langsung di bawah diagram benda bebas dari
balok, dengan mempergunakan skala horisontal yang sama untuk panjang balok tersebut.
Dalam membuat diagram-diagram tersebut, biasanya tidak diperlukan ketelitian
seperti para juru gambar. Meskipun ordinat-ordinat yang penting ditandai dengan harga
numeriknya.
Diagram gaya aksial tidak umum digunakan dalam sehari-hari sebagaimana halnya
diagram gaya geser dan momen lentur. Hal ini disebabkan oleh kebanyakan balok yang
dipelajari dalam praktek adalah yang dibebani oleh gaya-gaya yang bekerja tegaklurus
terhadap sumbu balok. Malahan pada pembebanan balok tersebut, gaya aksial tidak ada
pada irisan-irisannya.
Diagram-diagram geser dan momen adalah yang amat penting. Dari diagram ini para
perancang dapat dengan sekilas melihat macam kemampuan yang dapat diharapkan dari
balok pada setiap irisan. Pada Bab 10 mengenai disain batang metoda untuk menggambar
diagram-diagram ini secara cepat akan dibahas kelak. Bagaimana pun, prosedur
yang telah dibahas di atas mengenai pengirisan sebuah balok serta mendapatkan sistem
gaya-gaya yang terdapat pada irisan adalah merupakan pendekatan yang sangat mendasar.
Ini akan digunakan dalam melukiskan contoh-contoh yang berikut.
CONTOH 4-4
Gambarlah diagram-diagram gay a geser, gay a aksial dan momen lentur untuk balok
yang tidak berberat seperti yang terlihat dalam Gambar 4-18(a), yang mengalami gaya
miring sebesar P '""' 5 kN.
PENYELESAIAN
Diagram benda bebas untuk balok terse but dapat dilihat dalam Gambar 4-18(b ). Gayagaya
reaksi diperoleh sesudah ·gaya terpakai diuraikan menjadi dua komponen. Kemudian
diselidiki · beberapa irisan yang dibuat pada balok tersebut, seperti yang terlihat
dalam Gambar-gambar 4-18(c), (d), (e), (f) dan (g). Untuk setiap kasus pertanyaan yang
sama dapat diajukan: Gaya-gaya dalam yang manakah yang diperlukan untuk menjaga
segr1en balok tersebut berada dalam keseimbangan? Besaran-besaran yang sesuai ditulis
pada masing-masing diagram benda bebas yang bersangkutan dari segmen balok. Ordinat
untuk besaran-besaran ini ditunjukkan oleh titik-titik tebal dalam Gambar-gambar
4-18(h ), (i) dan (j) dengan perhatian kepada tanda-tanda besaran terse but.
Perhatikanlah bahwa benda-benda bebas yang terlihat dalam Gambar-gambar
4-18(d) dan (g) adalah diagram pengganti karena memberikan keterangan yang sama dan
biasanya keduanya tidak usah dibuat. Perhatikan pula bahwa irisan agak sebelah kiri dari
gay a terpakai mempunyai sa tu mac am tanda dari geser, Gambar 4-18( e), sedang yang
118 MEKANIKA TEKNIK
P = 5 kN .J
(a)
:;;;; - ! Oi;'
k---1• _5=--:::m~•-1---1• _____::___::.m:5 -=----+i•l z
(b) 2kN 4kN·m 4kN·m 2kN
3 kN 2 kir"'\__ 'l2 kN I -• -'.~T3 kN \.~
2kN,, 2 m,l (d) ~2kN
3 kN I 2 kN~IO kN·m
~1 ~~3kN
2 kNt i I 5 m- 1• I • 4 kN
3~ I 3kNfQ: I : -'t 10 kN·m
2 kN ~-------'5=--:mr-=--+l -1 2 kN
(c)
(e)
(f)
i 14kN
3 kN c==tl ==::!~3:;k;;Nt:::h ~ kN X 8 m- 4 kN X 3 IJl
-1 - -~~4kN·m
2kNl 8 m I 2 kN
I I
(g)
2 k:r-~+-2,..-,k:-::-N~l-+_...,ol :
: . : (h) ~-2kN
(i)
0 ! . . 1-3 kN! - .I I
-3kN ~kN·m~m~ .11.-N·
~m
( j) 0
Geser
Gaya aksial
Momen lentur
Gambar 4-18
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 119
agak sebelah kanan, Gambar 4-18(f), mempunyai tanda yang lain. Ini menunjukkan
pentingnya menentukan geser pada sebelah menyebelah gaya terpusat. Untuk keadaan
yang diperlihatkan tersebut, maka balok tidak melawan geser yang harganya sama
dengan keseluruhan gaya. Sedang momen lentur untuk kedua kasus adalah sama.
Untuk kasus yang khusus ini, setelah beberapa titik individual telah ditetapkan pada
ketiga diagram dalam Gambar 4-18(h), (i), dan G), maka sifat masing-masing besaran
pada keseluruhan panjang balok boleh diperbincangkan. Jadi meskipun segmen balok
yang terlihat dalam Gambar 4-18(c) panjangnya adalah 2 m, tetapi panjang ini boleh
saja diambil berubah-ubah dari no! sampai panjang ke titik dekat sebelah kiri gaya terpakai,
di mana tidak terdapat perubahan gaya geser dan gaya aksial. Jadi ordinat dalam
Gambar-gambar 4-18(h) dan (i) tetap konstan untuk segmen balok ini. Di pihak
lain, lllomen lentur bergantung dan berbanding lurus dengan jaraknya dari tumpuan,
hingga besaran ini berubah secara linier seperti yang terlihat dalam Gambar 4-18G).
Pertimbangan yang serupa berlaku pula untuk segmen yang terlihat dalam Gambar
4-18(d), yang memungkinkan kita dapat melengkapi bagian sebelah kanan ketiga dia- ·
gram tersebut di atas. Penggunaan diagram benda bebas dari Gambar 4-18(g) untuk
melengkapi diagram yang sebelah kanan memberikan hasil yang sama pula.
CONTOH 4-5
Gambarlah diagram geser dan momen lentur untuk balok yang dibebani oleh gaya yang
terlihat dalam Gambar 4-19(a).
~~p p!l
~:~ I t
(a) 'p
~ M=Px
(b) Gambar 4-19
---..__,__
(c) ~ M=Pa
p
Geser
(d) 01 + p
(e) ./ + SI+Pa
M omen
120 MEKANIKA TEKNIK
PENYELESAIAN
Sebuah irisan tertentu pada sua tu jarak x dari tumpuan sebelah kiri memisahkan segmen
balok yang terlihat dalam Gambar 4-19(b ). Irisan ini berlaku untuk semua harga x yang
terletak di sebelah kiri gaya terpakai P. Gaya geser tetap konstan yaitu. sel}esar +P.
Tanpa memperhatikanjaraknya dari tumpuan. Momen lentur berubah secara linier dari
titik tumpuan, sampai mendekati harga maksimumnya yaitu sebesar +Pa.
Suatu irisan tertentu yang berlaku di mana-mana antara dua gaya terpakai diperlihatkan
dalam Gambar 4-19( c). Tidak ada gaya geser yang diperlukan untuk menjaga
keseimbangan segmen dari bagian balok ini. Hanya satu momen lentur yang konstan
sebesar +Pa yang ada dalam daerah ini yang harus dilawan oleh balok tersebut. Keadaan
lentur yang demikian dinamakan lenturan mumi (pure bending).
Diagram-diagram geser dan momen lentur untuk keadaan pembebanan ini dapat
dilihat dalam Gambar-gambar 4-19( d) dan (e). Diagram gaya aksial tidak dibutuhkan
karena gaya ini memang tidak ada dalam irisan balok ini.
CONTOH 4-6
Gambarlah diagram geser dan momen lentur untuk sebuah balol< sederliana· dengan
beban yang terdistribusi secara merata, Gambar 4~20{a).
1' ' ' J =' ' ' J ' J 'l
Tw0 N/m
(a)
111'ol 1
L
(b)
1---'-'x---1
"-V=~ lllo•L HJoX
(c)
~IV.oL~
~ Geser
O ~-tW,0.L
M omen
(d) /: + ~} t l1'o•L
2
Gainbar 4-20
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MDMEN LENTUR 121
PENYELESAIAN
Cara yang terbaik untuk menyelesaikan soal ini ialah dengan menuliskan pernyataan
aljabar untuk besaran-besaran yang diselidiki. Untuk tujuan ini, sebuah irisan yang tertentu
dibuat pada jarak x dari tumpuan sebelah kiri, yang digunakan untuk mengisolasi
segmen yang terlihat dalam Gambar. 4-20(b ). Karena beban terpakai tersebut secara
kontinu didistribusikan sepanjang balok, maka irisan ini adalah khas dan berlaku untuk
setiap irisan di seluruh panjang balok. Pada kasus yang lebih sukar beberapa daerah dari
sebuah balok mungkin harus pula diselidiki tergantung dari distribusi dari beban terpakai.
Dalam beberapa hal dianjurkan mempergunakan beberapa titik asal dari x untuk
mempermudah fungsi-fungsi aljabar.
Gaya geser V adalah sama dengan gaya reaksi ke atas sebelah kiri dikurangi dengan
beban pada sebelah kiri irisan. Momen lentut dalam M melawan momen yang disebabkan
oleh gaya reaksi pada sebelah kiri kurang momen yang disebabkan oleh gaya-gaya
pada sebelah kiri irisan yang sama. Penjumlahan momen-momen ini dilakukan sekitar
suatu sumbu pada irisan tersebut. Meskipun biasanya kita mengisolasi segmen yang
sebelah kiri, tetapi hasil yang sama akan dapat pula kita peroleh dengan meninjau
segmen sebelah kanan dari balok, dengan memperhatikan kaidah-kaidah tanda. Gambar
fungsi-fungsi V danM dapat dilihat dalam Gambar-gambar 4-20(c) dan (d).
CONTOH 4-7
Tentukanlah diagram-diagram geser, gaya aksial dan momen lentur untuk kantilever
yang dibebani oleh suatu gaya yang miring pada ujungnya, Gambar 4-2l(a).
PENYELESAIAN
Pertama kali gaya miring tersebut kita uraikan ke dalam dua komponen yang diperlihatkan
oleh Gambar 4-2l(b) dan kemudian gaya-gaya reaksi dapat ditentukan. Ketiga
I PL PL -Px
I~ :) 1 X Jff
L
(a) (d) :I + ! I Gaya aksial
I
~ ~ (e) :I + i Geser
p I
(f).O~ M omen
(b)
-PL -f:PL- Px)
Gambar 4-21
122 MEKANIKA TEKNIK
besaran yang tidak diketahui pada tumpuan dapat diselesaikan dari persamaan-persamaan
statika yang sudah kita kenal. Ini melengkapi diagram benda bebas yang terlihat
dalam Gambar 4-21(b). Kelengkapan menunjukkan semua gaya-gaya ini merupakan hal
yang paling penting.
Sebuah segmen balok diperlihatkan dalam Gambar 4-21(c); dari segmen ini kita
melihat bahwa gaya geser dan gaya aksial tetap sama tanpa melihat jarak x. Pada pihak
lain, momen lentur adalah suatu besaran variabel. Penjumlahan momen sekitar titik C
memberikan (PL - Px) yang bekerja dalam arah yang terlihat. Ini menunjukkan suatu
momen negatif Momen pada tumpuan seperti halnya momen lentur negatif mempunyai
kecenderungan untuk menarik serat atas dari balok. Ketiga diagram tersebut digambarkan
dalam Gambar-gambar 4-21(d), (e), dan (f).
CONTOH 4-8
Diberikan sebuah balok lengkung yang sumbu titik beratnya dibengkokkan menjadi
bentuk setengah lingkaran dengan radius 0,2 m seperti yang terlihat dalam Gambar
4-:22(a). Bila batang ini ditarik oleh gaya sebesar 1000 N, hitunglah gaya aksial, geser
dan momen lentur pada irisan A-A, a= 45°. Sumbu titik berat dan gaya-gaya terpakai
semuanya terletak dalam bidang yang sama.
PENYELESAIAN
P= IOOON
(a)
y
M=
/
1000 N
(h)
' '
Gambar 4-22
Tidak ada perbedaan yang berarti dalam metoda penyelesaian soal ini dibandingkan
dengan persoalan balok lurus. Benda secara keseluruhan diperiksa dengan syarat keseimbangan.
Dari keadaan persoalan di sini, hat seperti ini sudah merupakan kasus. Berikutnya,
sebuah segmen dari balok diisolasikan, seperti Gambar 4-22(b). lrisan A-A diGAYA
AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 123
ambil tegaklurus terhadap sumbu balok. Sebelum 111enentukan besaran-besaran yang dikehendaki
pada irisan, maka gaya terpakai P diuraikan ke dalam komponen"komponen
yang sejajar dan tegaklurus terhadap irisan tersebut. Arah-arah ini diambil masing-masing
sebagai sumbu-sumbu y dan x. Penguraian ini mengganti gaya P dengan komponenkomponen
yang diperlihatkan dalam Gambar 4-22(b ). Dari L Fx = 0, gaya aksial pada
irisan adalah +707 N. Dari L Fy = 0, diperoleh gaya geser sebesar 707 N dengan arah
yang seperti diperlihatkan dalam gambar. Momen lentur pada irisan dapat ditentukan
dengan beberapa cara yang berbeda. Umpamanya, bila kita gunakan penjumlahan
L M0 = 0, maka harus diperhatikan bahwa garis kerja gaya terpakai P dan geser pada
irisan melalui titik 0. Karena itu yang perlu kita perhatikan sekarang hanyalah gaya
aksial melalui titik berat irisan dikalikan dengan radius, hingga kita memperoleh momen
lentur perlawanan adalah 707(0,2) = 141,4 .N·m, yang bekerja dalam arah yang diperlihatkan
dalam gambar di atas. Cara penyelesaian yang lain dapat diperoleh dengan
menggunakan L Me = 0. Pada titik C, yaitu titik yang terletak pada titik berat, gaya
aksial dan geser berpotongan. Oleh karena itu maka momen lentur sekarang menjadi
sebagai basil perkalian antara gaya terpakai P dengan lengan sebesar 0,1414 m. Dalam
kedua metoda penentuan momen lentur ini, penguraian gaya P ke da1am koinponenkomponennya
tidaklah perlu dilakukan hingga persoalan sekarang menjadi lebih menyangkut
perhitungan saja.
Pembaca dapat pula dianjurkan untuk melengkapi persoalan ini dalam bentuk sudut
umum a. Beberapa pengamatan yang penting mungkin dapat dibuat dari penyelesaian
upmm seperti ini. Momen-momen pada ujung-ujung akan menjadi nol untuk a = 0° dan
a = 180°. Untuk a = 90° gaya geser akan menjadi nol dan gaya aksial akan menjadi
sama dengan gaya terpakai P. Demikian pula dengan m omen lentur yang menjadi maksimum
pada a = 90°.
4-11 PROSEDUR LANGKAH DEMI LANGKAH
(STEP-BY-STEP PROCEDURE)
Dalam analisis balok adalah penting sekali untuk dapat menentukan gay a geser,
gaya aksial dan momen lentur pada setiap irisan. Teknik untuk mendapatkan besaranbesaran
ini luar biasa jelasnya dan sistematik. Untuk memberikan penekanan lebih
lanjut, maka langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan semua soal-soal yang
sudah dibahas akan kita ringkas sekarang. Ikhtisar ini dimaksudkan untuk membantu
pada mahasiswa dalam melakukan analisis yang tertib mengenai persoalan ini. Menghafal
belaka prosedur ini adalah mengecewakan.
1. Buat1ah skets balok yang baik di mana semua gaya-gdya terpakai dengan jelas diperlihatkan
beserta letaknya terhadap tumpuan.
2. Dengan tegas tunjukkan gaya-gaya reaksi yang tidak diketahui (lebih baik menggunakan
pensil berwarna). lngatlah bahwa sebuah tumpuan rol mempunyai satu
gaya reaksi yang tidak diketahui, tumpuan berpasak mempunyai dua gaya reaksi
yang tidak diketahui, sedang tumpuan jepit mempunyai Tiga gaya reaksi yang tidak
diketahui.
124 MEKANIKA TEKNIK
3. Gantilah semua gaya-gaya miring (yang diketahui dan tidak diketahui) dengan komponen-
komponen yang sejajar dan tegaklurus dengan balok. *
4. Pergunakanlah persamaan-persamaan statika untuk memperoleh gaya-gaya reaksi
tersebut.t Pemeriksaan terhadap gaya-gaya reaksi yang dilakukan dengan cara
yang sudah dikemukakan dalam Contoh-contoh 4~1, 4-2 dan 4-3, adalah sangat diperlukan.
5. Buatlah sua tu irisan pada letak yang dikehendaki dari balok yang tegaklurus pada
sumbunya. Irisan khayal ini memo tong balok tersebut saja dan isolasikan gaya-gaya
yang bekerja pada segmen tersebut.
6. Pilihlah suatu segmen di sebelah menyebelah irisan yang sudah dikemukakan dan
gambarkan kembali segmen ini, dengan menunjukkan semua gaya-gaya luar yang
bekerja padanya. Ini harus termasuk semua komponen gaya-gaya reaksi. ·
7. Tunjukkan ketiga besaran yang tidak diketahui yang mungkin ada pada irisan
potongan, yaitu, perlihatkanlah gaya-gaya P, V dan M, dengan mengandaikan araharah
mereka.
8. Pergunakanlah persamaan-persamaan keseimbangan untuk segmen tersebut dan
selesaikanlah untuk besaran-besaran P, V dan M. Bila hasil penyelesaian tersebut
menunjukkan bahwa besaran-besaran ini berharga negatif, maka arah yang telah
diandaikan semula pada irisan tersebut haruslah dibalikkan.
Prosedur ini memungkinkan kita menentukan gaya geser, gaya aksial dan momen
lentur pada setiap irisan sebuah balok. Tanda untuk besaran-besaran ini mengikuti definisi-
definisi yang telah diberikan lebih dahulu. Bila yang dikehendaki adalah diagram
sistim gaya-gaya dal~m, maka beberapa irisan bisa pula diselidiki. Janganlah salah menentukan
perubahan mendadak dari gaya geser pada gaya~gaya yang terpusat, dan
perubahan mendadak dari harga momen lentur pada titik-titik di mana ada momenmomel_
l yang terpusat. Kadang-kadang diperlukan pula pernyataan aljabar dari besaranbesaran
yang sama.
Dalam pembahasan di atas pembuatan diagraJTI-diagram gaya geser dan momen
terutama digambarkan untuk batang yang horisonta:. Untuk batang yang miring, prosedur
adalah sama, kecuali bila mengarahkan sumbu koordinat sepanjang dan tegaklurus
sumbu batang. Pada sistem struktur melengkung dan yang mengikuti ruang arah sumbu
adalah sepanjang sumbu dari batang. Dalam kasus demikian salah satu sumbu koordinat
diambil menyinggung terhadap sumbu batang, seperti yang terlihat dalam Gambar 4-22.
Untuk menyelesaik~n dengan skema diagramatis yang digunakan dalam buku ini untuk
balok horisontal, maka ordinal untuk momen lentur dari sistcm lengkung dan sistem
bentuk ruang haruslah diplot pada bagian tekan dari irisan. +
Pada waktu ini disarankan untuk meninjau kembali Pasal 1-9 mengenai pendekatan
dasar dari mekanika bahan, sebagai pengetahuan yang sangat baik mengenai isi pasal tcrsebut.
* Suatu kecerdikan yang lebih besar dibutuhkan untuk mcnghadapi balok-balok yang mclcngkung.
t Langkah ini dapat dihilangkan untuk kantilevcr dengan mcngcrjakan dari ujung yang bcbas.
I Dalam beberapa buku mcngcnai analisa struktur, skema yang hcrlawanan dipergunakan pula.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 125
SOAL·SOAL YANG HARUS DISELESAIKAN
(Catatan: Sebagai tambahan pada balok, maka
kerangka sederhana termasuk pula ke dalam
soal-soal yang berikut. Untuk besaran-besaran
yang ditanyakan, penelaahan mengenai kerangka-
kerangka ini analog dengan yang mertgenai
balok).
4-l. Buktikanlah bahwa efek terhadap suatu
struktur dari gaya tarik yang bekerja pada
kabel fleksibel yang melalui sebuah katrol yang
tidak mempunyai gesekan adalah sama dengan
yang dari dua gaya yang sama yang bekerja
pada titik pusat gandar.
4-2. Hitunglah gaya-gaya reaksi pada tumpuantumpuan
sendi A dan B. Jawab: RAx = 18,75
kN, RAy = 75 kN.
B
GAMBAR SOAL 4 - 2
4-3. Untuk balok yang dibebani seperti yang
diperlihatkan dalam gambar, tentukanlah besar
dan arah gaya-gaya reaksi.
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4 - 3
4-4 sampai 4-13. Llnluk· struktur-slruktur
planar yan~ dibcbani sepcrti yan~ diperlilwt
dalam gambar-gambar yang di bawah, tcntukanlah
gaya-gaya reaksi atau komponcn-komponen
~aya rcaksi. Scmua struktur tersebut diandaikan
tidak mcmpunyai berat. Sua tu pl'nggambaran
diagram benda hc·bas yang benar adalah bagi·
an yang penting dari masing-masing soal.
Jawab: Komponen reaksi ke atas untuk gaya
reaksi sebelah kiri diberikan dalam tanda kurung
pada masing-masing gambar, dalam satuan
yang sama dengan beban terpakai.
/ / t-+-----·--+1
4m
(6)
GAMBAR SOAL 4 - 4
/0,2 m rat!
20 kN
( -20)
GAMBAR SOAL 4 - 5
_....-- 30 kN/m
AJ-J- c:Cf1- ~ 'j"2.m' ~T~- I
(10)
GAMBAR SOAL 4 - 6
1,5 Ill !m
(69,2)
GAMBAR SOAL 4 - 7
7,07 kN~~s_·_
s!' m
3,5 m U ,;lj
--- ----...j
t2J5)
GAMBAR SOAL 4 - 8
126 MEKANIKA TEKNIK
100 kN 3 500 kN
(100)
GAMBAR SOAL 4 - 9
I m
-+-.-------LJ I
I m.:...r_t~=---+----~~ _
GAMBAR SOAL 4- 10
I m
I m
(35)
(25,6)
GAMBAR SOAL 4 - 11
20 kN
( 10)
GAMBAR SOAL 4 - 12
0,9 kN/m
45
(X77)
GAMBAR SOAL 4 - 13
4-14. Untuk balok yang dibebani seperti yang
diperlihatkan dalam gambar, hitunglah gaya
geser dan momen lentur pada pertengahan rentangan
yang disebabkan oleh beban terpakai.
4-15. Sebuah blok rantai dipergunakan untuk
mengangkat berat 1000 kg dengan perantaran
balok penyebar yang terlihat pada gambar. Rantai
AB adalah 2,4 m panjangnya, sedang rantai
BC adalah 3,2 m panjangnya. Dengan mengabaikan
berat dari susunan balok ini, hitunglah
komponen-komponen semua gaya yang bekerja
sejajar dan tegaklurus kepada balok tersebut
bila sedang digunakan. Jawab: RAx = 3530 N.
A c
GAMBAR SOAL 4 - 15
4-16. Dua buah massa masing-masing berat
2 kg dipasang pada sebuah poros dengan perantaraan
lengan kaku seperti yang terlihat dalam
gambar. Dengan mengabaikan berat poros dan
lengan-Tengan, hitunglah gaya-gaya reaksi pada
bantalan bila poros berputar dengan 600 rpm.
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4- 16
4-17. Tentukanlah momen lentur pada tumpuan
B dalam Soal4-5. Jawab: 30 kN.m.
4-18. Tcntukanlah ~aya gcser dan momen
lentur pada irisan yang terdapat di tengahtengah
antara titik C dan D pada balok AB dari
soal 4-9. Jawab: + 300 kN, +1350 kN-m.
4-19. ltitunglah komponen-komponen gaya
rcaksi pada titik A dan B. dan hitunglah gaya
aksial. ~escr dan nwmen lentur pada irisan
a-a dari tiang kayu 300 X 300 mm.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 127
Kabel 300 x .~00 mm
__- --..:4_ __, f..- ---..:J=,s-.1122
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4-19
4-20. Untuk struktur planar yang terlihat dalam
gambar, tentukanlah gay a aksial, geser dan
momen lentur pada irisan a-o.
45kN
GAMBAR SOAL 4 - 20
4-21. Sebuah dongkrak hidraulis menggunakan
suatu gaya ke bawah sebesar 5400 N pada hubungan
yang terlihat dalam gambar. Berapakah
bcsar gaya aksial. gl·ser dan mnm~n lentur pada
irisan a.a yang discbabkan oleh pemakaian gay a
ini? Semua ukuran dalam m~ter.
GAMBAR SOAL 4-21
4-22 sampai 4-33. Untuk struktur-struktur
planar yang diperlihatkan dalam gambar-gambar
yang berikut, tentukanlah gaya aksial, gaya
geser dan momen lentur pada irisan-irisan a.a,
b-b, c-c, dan d-d di mana besaran-besaran tersebut
bekerja. Abaikanlah berat struktur tersebut.
_Pada setiap kasus, gambarlah diagram
benda-bebas dari bagian yang diisolasikan dari
struktur tersebut, dan dengan jelas perlihatkanlah
keadaan dari bemran-besaran yang dihitung.
Beberapa irisan terlihat berdekatan antara sesamanya.
Dalam keadaan ini, tentukanlah
besaran-besaran yang ditanyakan di atas, sedikit
Qi sebelah kiri dan sedikit di sebelah kanan dari
titik dalam pertanyaan tersebut, dengan menganggap
le bar dari anggota bangunan adalah kecil
sekali. Jawab: Jawaban untuk beberapa soal diberikan
sebagai berikut: gay a. aksial, geser dan
momen. Tanda untuk geser dan momen berlaku
hanya untuk struktur horisontal.
Soal. 4-22. -30 kN, +20 kN, + 30 kN-m.
Soal. 4-25. +lOkN, + 5 kN, + 2,5 kN.m.
2,4 m 2,4 m
GAMBAR SOAL 4 - 22
Batang segiempat
berat total61,2 N
Tumpuan licin
JOO
111111
--------·---1--------'L
-WO mm
GAMBAR SOAL 4 - 23
128 MEKANIKA TE~NIK
GAMBAR SOAL 4 - 24
GAMBAR SOAL 4 - 28
I m 25 kN
54 m
c
B
I m I m
GAMBAR SOAL 4 - 25
GAMBAR SOAL 4 - 29
GAMBAR SOAL 4 - 26 1,8 m
125 kN
I ,2 m
GAMBAR SOAL:4- 27 GAMBAR SOAL 4 - 30
GAVA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 129
GAMBAR SOAL 4 - 31
~~------~~50kN
E
E
,.-,
GAMBAR SOAL 4 - 32.
GAMBAR SOAL 4-33
4-34. Tentukanlah gaya aksial, geser dan
momen lentur pada irisan a-a. Tidak ada hu-
GAMBAR SOAL 4 - 34
bungan antara batang-batang AD dan BC di
titik E.
4-35 sampai 4-40. Buatlah plot diagram gaya
geser dan momen untuk balok yang dibebani
seperti yang terlihat dalam gambar. Jawab: momen
maksimum terdapat dalam tanda kurung
pada masing-masing gambar soal yang bersangkutan.
·
( +24)
GAMBAR SOAL 4 - 35
M,
~- L r (+M,)
GAMBAR SOAL 4 - 36
(-M,)
GAMBAR SOAL 4-37
(500)
GAMBAR SOAL 4 - 38
50 N
(20)
GAMBAR SOAL 4 - 39
130 MEKANIKA TEKNIK
p M= Pa
(~Pa)
GAMBAR SOAL 4 - 40
4-41 sampai 4-43. Untuk balok-balok yang dibebani
seperti yang terlihat dalam gambargambar
soal yang berikut, tulislah pernyataan
aljabar dari gaya geser dan momen lentur
untuk selang AB. Jawab: Soal 4-42: M = t k
(L'x-x3
).
A r 8 ~ a, h if
1--L-------1
GAMBAR SOAL 4-41
kL ~
GAMBAR SOAL 4 - 42
30 kNfm
·'~s~:l "4m" ~
----1
GAMBAR SOAL 4 - 43
4-44. Tulislah persamaan aljabar umum untuk
gaya aksial, geser dan momen lentur untuk
balok lengkung dari Contoh 4-8. Jawab: M= Pr
sin <X.
4-45. Sebuah batang berpenampangsikuempat
yang dibengkokkan menjadi berbentuk setengah
lingkaran, terpasang tetap pada salah satu
ujungnya sedang seluruh batang mendapat
tekanan radial dalam sebesar p N per satuan
panjang (lihat gambar). Tulislah pernyataan
umum untuk P(O), V(O) dan M(O) dan plot hasilnya
dalam diagram kutub. Perlihatkan arah
positif yang diandaikan untuk P, V dan M pada
diagram benda bebas. Jawab: M = pr2 (1 -
cos 0).
p N/m
Radius batang = R
GAMBAR SOAL 4 -45
4-46. Sebuah batang dibuat dalam bentuk sebuah
siku-siku seperti terlihat dalam gambar
dan terpasang tetap pada salah satu ujungnya.
(a) Tulislah pernyataan umum untuk V, M dan
T (momen puntir) yang disebabkan oleh penggunaan
suatu gaya F yang tegaklurus terhadap
bidang batang yang dibengkokkan tersebut.
Plotlah hasilnya. (b) Bila sebagai tambahan terhadap
gaya terpakai F di atas, ditinjau pula berat
batang sebesar w N per satuan panjang, maka
sistem komponen gaya dalam apakah yang
akan terbentuk pada ujung batang yang terpasang
tetap? Jawab: (a) M= -F (L - x), (b) M=
-(F + aw + lh.wL)L.
y
z
l
GAMBAR SOAL 4 - 46
(Catatan: Untuk soal-soal tambahan lihatlah Bab 10).Gaya Aksial
Geserdan
Momen Lentur
4-1 PENDAHULUAN
Efek gaya aksial terhadap batang yang lurus telah dikemukakan pada Bab-bab I
dan 2. Puntiran dari batang lurus telah dibahas pula pada Bab 3. Secara intuit if jelaslah
bagi para pembaca bahwa yang kita sebut ini bukanlah hanya macam gaya yang dapat
bekerja pada sebuah batang. Pada kenyataannya , dalam banyak bagian bangunan teknik,
gaya perlawanan bekerja secara lateral dan transversal terhadap sumbu-sumbu bagian tersebut.
Jenis bagian konstruksi seperti ini dinamakan balok (beam). Ber~agai penggunaan
dari balok dapat ditemui pada struktur dan mesin. Bagian utama yang mendukung lantai
bangunan adalah balok , begitu pula sebuah gandar dari mobil juga adalah balok . Dengan
bahan-bahan yang modern, maka balok merupakan bagian konstruksi yang menonjol.
Penentuan sistem gaya-gaya dalam yang diperlukan untuk keseimbangan setiap bagian
balok akan merupakan pokok utama dari bab ini.*
Balok mungkin berbentuk lurus atau melengkung, tetapi bab ini akan memusatkan
pembahasan pada balok lurus. Balok-balok lurus banyak sekali terdapat dalam praktek;
lebih lanjut, sistem gaya-gaya pada suatu irisan sebuah balok lurus sama dengan balok
lengkung. Jadi, bila sifat dari balok lurus dapat dimengerti, maka tidak banyak yang dibutuhkan
lagi untuk memahami balok lengkung. Untuk menyederhanakan pekerjaan
bab ini,t maka gaya-gaya yang bekerja pada balok tersebut akan diandaikan terletak
pada bidang yang sama , yaitu , suatu masalah balok "planar" akan dibahas secara
tersendiri. Selanjutnya, meskipun pemasangan yang sesungguhnya dari suatu balok
* !si dari bab ini mungkin dikenal nleh beberapa {>embaca. Meskipun demlkian, adalah baik sekali
untuk meninjau kembali bahan-bahan yang dikemukakan di sini. Pengetahuan sepenuhnya dari
bahan ini haruslah dipunyai sebelum membahas bab~bab yang menyusul.
t Lihat Bab 7 untuk pembahasan masalah yang lebih umum.
102 MEKANIKA TEKNIK
mungkin tegak, condong atau mendatar, maka untuk tepatnya balok-balok yang dibahas
di sini akan kelihatan dalam kedudukan mendatar. Semua balok yang ditinjau akan
ditentukan secara statis, yaitu reaksi selalu dapat ditentukan dengan penggunaan persamaan
keseimbangan statis.
Untuk batang beban aksial atau puntiran yang telah kita tinjau sebelum ini, hanya
satu gaya dalam yang dibutuhkan pada suatu irisan untuk memenuhi keadaan keseimbangan.
Tetapi umumnya, suatu sistem tiga komponen gaya dalam dapat diakui pada
sebuah irisan sebuah balok. Besaran-besaran ini akan ditentukan dalam bab ini dengan
mengisolasi · bagian-bagian dari balok serta menggunakan syarat-syarat keseimbangan
kepada bagian-bagian balok tersebut. Penelaahan hubungan gaya-gaya ini dengan tegangan
yang diakibatkan oleh gaya-gaya tersebut dalam balok tersebut akan dibahas dalam
dua bab yang berikutnya.
4-2 KAIDAH DIAGRAMATIS UNTUK TUMPUAN
Dalam mempelajari perbalokan penting sekali untuk memakai kaidah-kaidah
diagramatik urituk tumpuan balok tersebut dan pembebanan yang disebabkan oleh
bermacam-mi;lcam tumpuan dan berbagai variasi dari beban yang mungkin. Penguasaan
yang cermat dari dan ketaatan kepada kaidah-kaidah demikian akan menghindari
ban yak keraguan dan memperkecil kemungkinan membuat kesalahan. Kaidah-kaidah ini
membentuk bahasa bergambar bagi para ahli teknik. Sebagai disebutkan dalam pendahuluan,
untuk mudahnya, maka balok-balok tersebut biasanya terlihat dalam kedudukan
yang horizontal (mendatar).
Ada tiga macam tumpuan yang dikenal pada balok yang dibebani oleh gaya yang
bekerja dalam bidang yang sama. Ha! ini ditunjukkan oleh macamnya perlawanan yang
diberikan balok tersebut terhadap gaya tersebut. Salah satu jenis dari tumpuan secara
fisis dinyatakan dengan sebuah !QLatau sebuah penghubung. Alat ini mampu melawan
gaya dalam Slf!ltU garis_f!~iyangspesifik. Penghubungyangterlihat pada Gambar 4-l(a)
dapat rpelawan gaya hanya dalarn arah garis AB. Rol pada Gambar 4-1 (b) hanya dapat
melawan gaya yang vertikal, sedang rol-rol yang terlihat dalam Gambar 4-l(c) hanya
dapat melawan suatu gaya yang tegaklurus terhadap bidang CD. Dalam buku ini jenis
tumpuan ini akan biasa dilambangkan oleh tumpuan sebagai y'llng terlihat dalam Gambar-
gambar 4-1 (b) dan (c), dan kit a akan memahami bahwa tumpuan rol sanggup me lawan
gaya dalam arah mana pun* sepanjang garis aksi dari gaya reaksL Untuk: menghfndari
kedua pengertian ini; silatu penghubung skematik adakalanya dilakukan untuk
menunjukkan bahwa gay a reaksi dapat bekerja dalam tiap arah (lihatlah Gambar 4-4 ).
Suatu reaksi dari jenis tumpuan ini sesuai dengan suatu yang tidak diketahui yang
tunggal bila persamaan-persamaan statika digunakan. Untuk reaksi-reaksi yang miring,
maka perbandingan antara kedua komponen adalah tetap (lihatlah Contoh 1-3 ).
* Ha! ini secara tidak langsung menyatakan bahwa dalam disain yang sesungguhnya sebuah penghubung
harus diadakan bila gaya reaksi bekerja menjauhi balok, dengan perkataan lain, balok tersebut
tidak diperbolehkan terangkat dari tumpuan tersebut pada titik A dalam Gambar 4-l(b). Pada
gambar ini mungkin menolong untuk memperlih;itkan rol tersebut di atas balok tersebut dalam ha!
reaksi yang ke bawah, dengan.maksud menjelaskan bahwa balok tersebut terbatas menghadapi gerak
ke atas secara vertikal pada tumpuan tcrscbut. Praktek ini biasanya akan diikuti oleh buku ini.
(a)
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MDMEN LENTUR 103
Balok
Penghubung
(b)
Gambar 4-1 Tumpuan jenis penghubung dan rol (kemungkinan garis aksi dari reaksi
diperlihatkan oleh garis-garis putus).
Jenis tumpuan lain yang mungkin digunakan adalah pasak (pin). Dalam menggambar
sebuah tumpuan seperti di atas dicapai dengan menggunakan perincian seperti yang terlihat
dalam Gambar 4-2(a). Dalam buku ini tumpuan-tumpuan yang demikian dilambangkan
secara diagramatis seperti yang diperlihatkan oleh Gambar 4-2(b). Tumpuan
yang berpasak mampu melawan gaya yang bekerja dalam setiap arah dari bidang. Jadi,
pada umumnya, reaksi pada suatu tumpuan seperti ini mempunyai dua komponen, yang
satu dalam arah horizontal dan yang lainnya dalam arah vertikal. Tidak seperti pada
perbandingan pada tumpuan rol atau penghubung, maka perbandingan antara kompo.
nen-komponen reaksi pada tumpuan yang berpasak.Jidak/ah tetap~. Untuk menentukan
kedua komponen ini, dua buah persamaan statika harus digunakan.
Tumpuan jenis ketiga yang digunakan untuk balok mampu melawan gaya dalam
setiap arah dan juga mampu melawan suatu kopel atau momen. Secara fisis, tumpuan
seperti itu diperoleh dengan membangun sebuah balok ke dalam suatu dinding batu
bata, mengecornya ke dalam beton, atau melas ujung balok ke dalam bangunan utama.
Suatu sistem tiga gaya dapat muncul pada tumpuan demikian, yaitu dua komponen gaya
dan sebuah momen. Tumpuan ini disebut tumpuan jepit (fixed support) yaitu ujung
yang tertanam tersebut adalah jepit, atau dijaga untuk tidak berputar. Kaidah standar
yang menunjukkan ha! ini terlihat dalam Gambar 4-3.
4
(a) (b)
Gambar 4-2 Tumpuan yang berpasak:
(a) sesungguhnya, (b) diagramatis
r--~------------~ L- ?J;t-------------'
Gambar 4-3 Tumpuan jepit
Untuk membedakan tumpuan jepit dari tumpuan-tumpuan rol dan pasak yang tidak
mampu melawan momen, maka dua yang kemudian disebut tumpuan sederhana. Gambar
4-4 menyimpulkan perbedaan yang terdahulu antara ketiga jenis tumpuan dan
macam perlawanan yang diambil oleh masing-masing jenis tersebut. Para ahli teknik
praktis biasanya menentukan tumpuan tersebut sebagai salah satu dari ketiga jenis ter104
MEKANIKA TEKNIK
r Melawan gaya-gaya
horisontal dan vertikal
r""lk=-L ..
Hanya melawan gaya vertikal saja
Tumpuan-tumpuan sederhana
Gambar 4-4 T1ga jenis tumpuan yang umum
Melawan gaya-gaya
horisontal dan vertikal
dan momen
Tumpuan jepit
sebut di atas dengan "pertimbangan", meskipun dalam struktur yang sesungguhnya,
tumpuan-tumpuan dari balok tidak selalu dengan jelas dapat dimasukkan ke dalam klasifikasi
ini. Suatu pembahasan yang lebih lanjut mengenai aspek masalah ini adalah di luar
lingkup buku ini.
4-3 KAIDAH DIAGRAMATIS UNTUK PEMBEBANAN
Balok didatangkan untuk menumpu bermacam-macam beban. Acapkali suatu gaya
diberikan kepada balok, melalui sebuah tonggak, sebuah anggar atau sekelompok
bangunan yang memakai baut seperti yang terlihat dalam Gambar 4-S(a). Susunan demikian
mempergunakan gaya terhadap bagian balok yang sangat terbatas dan diidealisasikan
untuk tujuan-tujuan analisis balok sebagai gaya terpusat. Ha! ini secara diagramatis
dapat dilihat dalam Gambar 4-S(b). Pada pihak lain, dalam banyak ha! gaya-gaya tersebut
berlaku pada bagian yang kecil dari balok. Umpamanya, dalam sebuah gudang
barang-barang boleh ditumpuk sepanjang sebuah balok. Gaya-gaya demikian disebut
beban-beban yang terdistribusi.
w
(a) (b)
Gambar 4-5 Pembebanan terpusat pada sebuah balok (a) yang sesungguhnya
(b) yang diidealisasikan
Banyak jenis-jenis beban yang terdistribusi yang terjadi. Diantaranya, ada dua
macam beban yang terutama sekali penting: beban yang terdistribusi secara merata dan
GAVA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 105
beban yang bervariasi secara merata. Jenis beban yang pertama dengan mudah dapat
merupakan suatu idealisasi dari muatan gudang yang baru saja disinggung, di mana
barang-barang yang sejenis ditumpuk mencapai ketinggian yang sama di sepanjang balok
tersebut. Demikian juga balok itu sendiri, bila luas penampang adalah tetap, merupakan
suatu gambaran yang bagus dari pembebanan yang sama jenisnya. Suatu keadaan yang
nyata dan idealisasi diagramatis dari ha! di atas· terlihat pada Gambar 4-6. Beban ini
biasa dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang balok, kecuali disebutkan yang sebaliknya.
Dalam satuan SI ia boleh ditulis sebagai newton per meter (N/m), atau kilonewton
per meter (kN/m).
(a)
Beban terdistribusi merata
barang + balok w, N/m
(b)
Gambar 4-6 Pembebanan yang terdistribusi (a) sesungguhnya (b) idealisasi
Beban-beban yang bervariasi secara merata bekerja pada dinding yang vertikal dan
miring dari suatu bejana berisi zat cair. Ini dilukiskan pada Gambar 4-7 di ma-na diambil
bahwa balok vertikallebamya satu meter sedang satuan massa zat cair adalah 'Y (kg/m3 ).
Untuk pembebanan jenrs ini, harus diperhatikan benar bahwa intensitas maksimum
beban q0 Nfm hanya berlaku pada suatu panjang yang kecil takberhingga dari balok.
Besarnya dua kali intensitas tekanan rata-rata. Jadi gaya total yang digunakan oleh
pembebanan seperti ini pada suatu balok adalah (q 0h/2) N, dan resultantenya bekerja
pada jarak h/3 di atas dasar bejana. Dasar horizontal dari bejana yang berisi zat cair
mendapat beban secara merata.
Be ban
~
q" N/m (max) ~ y·h·l·g
Gambar 4-7 Pembebanan hidrostatik
pada dinding vertikal
Akhirnya, ada kemungkinan untuk membebani balok den_gan suatu momen terpusat
yang dibcrikan pada balok tersebut, tepatnya pada suatu titik. Salah satu susunan yang
mungkin untuk menggunakan momcn tcrpusat dapat dilihat dalam Gambar 4-8(a). dan
106 MEKANIKA TEKNIK
(a)
w
=1- ~k
(b)
Gambar 4-8 Metoda penggunaan momen terpusat pada suatu balok
(c)
lambang diagramatis yang digunakan dalam buku ini dapat dilihat dalam Gambar
4-8(c).
Keinginan untuk suatu pengertian yang lengkap mengenai pernyataan lambang
untuk tumpuan dan gaya seperti yang telah dibahas tidak perlu mendapat perhatian
yang lebih besar lagi. Yang perlu diperhatikan adalah macam perlawanan yang diambil
oleh berbagai jenis tumpuan dan cara menyatakan gaya-gaya pada tumpuan yang demikian.
Catatan-catatan ini akan berguna untuk membangun diagram benda bebas dari
balok.
4-4 KLASIFIKASI BALOK
Balok diklasifikasikan ke dalam beberapa kelompok, terutama tergantung pada
macam tumpuan yang digunakan. Jadi bila tumpuan tersebut berada pada ujung-ujung
dan pada pasak atau rol, maka balok tersebut disebut tumpuan yang sederhana atau
balok sederhana, lihat Gambar 4-9(a) dan (b). Balok tersebut menjadi balok jepit a tau
balok ujung jepit, Gambar 4-9( c), bila ujung-ujungnya mempunyai tumpuanjepit. Balokbalok
demikian disebut juga balok pengekang (restrained beams) bila ujungnya "dikekang"
untuk tidak berputar. Suatu balok terjepit pada salah sa tu ujung dan bebas
sempurna pada ujung yang lain, mempunyai nama khusus, yaitu balok kantilever,
Gambar 4-9(e).
Bila balok dibangun melewati tumpuan, maka balok tersebut dikatakan tergantung.
Jadi balok yang terlihat dalam Gambar 4-9{0 adalah balok yang tergantung. Bila tumpuan-
tumpuan antara terdapat pada batang kontinu secara fisis bekerja seperti balok,
Gambar 4-9(g), maka balok tersebut dinamakan balok kontinu (menerus).
Untuk semua balok tersebut di atas jarak L antara tumpuan disebut bentang (span).
Pada balok kontinu terdapat beberapa bentang yang panjangnya mungkin berbeda-beda.
Sebagai tambahan terhadap pengklasifikasian balok berdasarkan kepada tumpuan,
maka sering pula dipakai ungkapan-ungkapan yang deskriptif mengenai macam pembebanan
yang digunakan. Jadi balok yang terlihat daia~ Gambar 4-9(a) adalah balok
sederhana dengan beban terpusat, sedang yang terlihat dalam Gambar 4-9(b) adalah
balok sederhana dengan beban yang terdistribusi merata. Jenis balok yang lain dapat
pula dilukiskan secara yang sama.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 107
(0 !' I ! 'l
(b) I· L .[
Balok turnpuan sederhana
I I I (c) L I
Balok terjepit
I ' ' j (d) , __ L
Balok terjepit pada sa tu ujung dan
berturnpuan sederhana pada ujung lain
I ' '''''''''''! .I (e) I• L
Kantilever
f 1 "¥ "l (t) L
Balok overhang (tergantung)
' ' ' rm
Balok kontinu (rnenerus)
Gambar 4-9 Jenis-jenis balok
Untuk kebanyakan tugas dalam mekanika bahan, adalah berfaedah pula untuk
mengelompokkan lebih lanjut balok-balok tersebut ke dalam balok-balok statis tertentu
(statically determinate) dan statis tak tentu (statically indeterminate). Bila ·balok tersebut
yang dibebani dalam sua tu bidang adalah statis tertentu, maka jumlah komponen:
komponen reaksi yang tidak diketahui tidak akan melebihi tiga. Komponen yang tidak
diketahui ini selalu dapat ditentukan dari persamaan keseimbangan statika. Pasal yang
berikut dengan ringkas meninjau kembali metoda-metoda statika untuk menghitung
reaksi untuk balok-balok statis tertentu. Sedang penyelidikan mengenai balok statis
tak ten tu akan kita tunda sampai Bab 11.
4-5 PERHITUNGAN REAKSI BALOK
Semua tugas dengan balok yang berikut akan diawali dengan penentuan gaya reaksi.
Bila scmua gaya-gaya bekerja dalam satu bidang, maka tiga persamaan keseimbangan
statika harus tersedia untuk tujuan ini. Yaitu L Fx = 0, L Fy = 0 dan L M2 = 0, yang
telah kita bicarakan dalam Bab 1. Untuk balok lurus dalam kedudukan yang horizontal,
maka sumbu-x akan diambil sebagai arah yang horizontal, sumbu y untuk arah
yang vertikal dan sumbu z yang tcgaklurus terhadap bidang·kertas. Penggunaan ketiga
pcrsamaan pada beberapa persoalan balok dilukiskan di bawah dan dimaksudkan untuk
berlaku scbagai pcninjauan kcmbali dari prosedur yang penting ini. Deformasi dari
108 MEKANIKA TEKNIK
balok, sangat kecil, hingga dapat diabaikan bila persamaan-persamaan· di atas digunakan.
Untuk balok-balok yang stabil sejumlah kecil dari deformasi yang mengambil bagian
dalam merl.lbah titik-titik tangkap gaya-gaya tidaklah terlihat.
CONTOH 4-1
Hitunglah reaksi pada tumpuan untuk ;balok sederhana berbeban seperti yang terlihat
dalam Gambar 4,10(a). Abaikanlah berat dari balok.
(a)
200 N·m 160 N
(p)
Gari.l:bar 4-10
PENYELESAIAN
Pembebanan dari balok telah diberikan dalam bentuk diagramatis. Hakekat dari tumpuan
akan dibahas sesudah ini, dan komponen-komponen yang tidak diketahui dari
reaksi ini dengan tegas ditunjukkan pada diagram. Balok tersebut, dengan komponenkomponen
reaksi yang tidak diketahui dan semua gaya-gaya terpakai, digambarkan
kembali dalam Gambar 4-1 O(b) untuk dengan sengaja menekankan langkah penting ini
dalam membangun diagram benda bebas. Pada titik A, dua komponen reaksi mungkin
ada, karena ujungnya diberi pasak. Reaksi di titik B dapat bekerja hanya dalam arah
vertikal karena ujung terletak di atas rol. Titik-titik tangkap dari semua gaya secara
cermat harus diperhatikan. Sesudah diagram benda bebas dari balok dibuat, maka
penyelesaian dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan-persamaan statika.
L Fx ~= 0 RAx 0
L MA~= 0 ~) +, 200 + (100)(0,2) I ( 160)(0,3) Rn(OA) 0
Rn · I 670 N t
L Mn ou f. RAy(0,4) I 200 ( 100)(0,2) (160)(0,1) 0
RAv 410 N t
GAYA AKSIAL -GESER- DAN MOMEN LENTUR 109
Periksa:
I; Fy = 0 i +, -410 - 100- 160 + 670 = 0
Perhatikanlah bahwa ~ Fx = 0 menyelesaikan satu dari tiga persamaan statika yang
bebas, hingga hanya dua komponen reaksi tambahan yang dapat ditentukan dari statika.
Bila yang muncul pada tumpuan adalah lebih ban yak komponen reaksi dan momen yang
tidak diketahui, maka soal tersebut menjadi statis tak tentu. Dalam Gambar 4-9 balokbalok
yang diperlihatkan pada (c), (d) dan (g) adalah balok-balok statis tak tentu
dan boleh dibuktikan dengan memeriksa sejumlah komponen reaksi yang tidak diketahui.
(Cobalah membuktikan pernyataan ini).
Perhatikan pula bahwa momen terpusat Yflllg bekerja pada titik C masuk hanya ke
dalam tanda penjumlahan momen. Tanda positif dari Rn menunjukkan bahwa arah Rn
sesuai dengan anggapan dalam membuat Gambar 4-IO(b). Sebaliknya yang terjadi
dengan arah RAy di mana arah vertikal dari reaksi di titik A adalah ke bawah. Perhatikanlah
bahwa pemeriksaan pekerjaan menghitung tersebut di atas akan didapat bila
perhitungan-perhitungan dilakukan menurut yang telah diperlihatkan di atas.
PENYELESAIAN DENGAN CARA LAIN
Dalam menghitung gaya-gaya reaksi beberapa insinyur lebih menyukai membuat perhitungan
dengan cara yang ditunjukkan oleh Gambar 4-11. Pada dasarnya ini melibatkan
penggunaan dasar-dasar yang sama. Hanya perinciannya yang berlainan. Reaksi untuk
setiap gaya ditentukan satu persatu sekaligus. Reaksi total diperoleh dengan menjumlahkan
semua reaksi ini. Prosedur ini membolehkan pemeriksaan seketika terhadap perhitungan
yang sedang dilakukan. Untuk setiap gaya maka jumlah gaya-gaya reaksinya
harus sama dengan gaya tersebut itu sendiri. Umpamanya untuk gaya 160 N, mudah dilihat
bahwa gaya-gaya reaksi ke at as adalah 40 N dan 120 N dan berjumlah 160 N. Pad a
'"i.Ms~ of
0,1 m
t 200 X 1/(0,4) = 500 N
100 X (0,2) (0.4) = 50 N
160 X (0,1) (0,4) = 40 N
500 N 90 N
Rly = 410 N l
0,1 m 0,1 m 0,1 m
04 m
Gambar 4-11
t '"i.MA ~ 0
500 N = 200 x I ,-(0,4) (momen )
50 N = 100 x (0,2l/(0,4l c gaya too N 1
120 N = 160 x (0,3) (0.4) C gaya 160 NJ
R8 = 670 N t
(aJ
110 MEKANIKA TEKNIK
pihak lain, momen terpusat di titik C adalah sebuah kopel dan mendapat perlawanan
dari sebuah kopel juga. Hal ini menyebabkan suatu gaya ke atas sebesar 500 N pada
reaksi kanan dan gaya ke bawah sebesar 500 N pula pada reaksi sebelah kiri.
CONTOH 4·2
Hitunglah gaya-gaya reaksi balok berbeban sebagian dengan beban bervariasi dengan
merata seperti yang terlihat dalam Gambar 4-12(a). Abaikanlah berat dari balok.
P = x 3 x I 00 = 150 N
3m
5m 3m
5m
(b)
Gambar 4-12
PENYELESAIAN
Pemeriksaan terhadap keadaan tumpuan menunjukkan ada tiga komponen gaya reaksi
yang tidak diketahui, hingga balok tersebut termasuk yang statis tertentu. Hal ini serta
be ban yang bekerja diperlihatkan dalam Gambar 4-12(b ). Terutama harus diperhatikan
bahwa susunan batang tersebut tidaklah penting dalam menghitung gaya reaksi. Gambar
yang bentuknya kasar yang tidak mirip dengan balok yang sesungguhnya dapat dilihat
pada gambar untuk menekankan pendapat ini. Tetapi benda baru yang digambarkan ini
haruslah ditumpu pada titik-titik A dan B dengan cara yang sama dengan balok yang
asli.
Untuk menghitung gaya-gaya reaksi maka beban yang terdistribusi digantikan oleh
gaya P yang setara. Gaya ini bekerja melalui titik berat gaya-gaya yang terdistribusi.
Besaran-besaran yang bersangkutan ini diberikan tanda pada sketsa kerja. Gambar
4-12(b). Setelah diagram benda bebas dibuat, maka penyelesaian diperoleh dengan
mempergunakan persamaan-persamaan keseimbangan statis.
~ Fx = 0 RAx .c 0
~MA= 0() +, +(150)(2) .. R8(5) -c 0, Rn 60N 1
~Mno~cOC)+, - RAy(5) + (150)(3) ' 0, RAy. 90N 1
Periksa:
~ Fy . 0 ! +, ... 90 f 150 60 0
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 111
CONTOH 4-3
Tentukanlah gaya-gaya reaksi di titik A dan B untuk balok yang "tidak berberat" seperti
yang terlihat dalam Gambar 4-13(a).
16 kN
20 kN
B Ra_,
4m
R,, .J~
~4~~1~'~n.~~----~J~nl~--~J Ra
(a) (b)
Gambar4-13
PENYELESAIAN
Diagram benda bebas terlihat dalam Gambar 4-13(b ). Pada titik A ada dua komponen
gaya reaksi yang tidak diketahui, yaitu RAx dan RAy. Pada titik B gaya reaksi RB
bekerja tegaklurus pada bidang tumpuan dan memberikan suatu harga yang tidak diketahui
yang tunggal. Adalah bijaksana untuk menggantikan gaya ini dengan dua komponen
RBy dan RBx yang dalam soal yang khusus ini mempunyai harga yang sama.
Demikian pula, adalah sangat baik mengganti gaya yang miring dengan dua komponen
seperti yang diperlihatkan. Langkah-langkah ini mengurangi masalah di mana semua
gaya-gaya adalah horizontal atau vertikal. lni baik sekali dalam menggunakan persamaan
keseimbangan statis.
~MA =00 +,
~MB =00 +,
~ F_, = 0 -> +.
+(16)(1) - RBy(4) = 0,
+RAy(4) - (16)(3) = 0,
+ RA< -- 12 --- 4 = 0,
3~
I
RB = '\1"42 -! 42 = 4J2 kN ~ I
Periksa:
I 12 - 16· I 4 = 0
4-6 APLIKASI METODA IRISAN
RBy = 4 kN t = I RBx J
RAy=l2kNt
RAx = 16 kN ->
Tujuan utama dari bab ini ialah untuk memantapkan cara !llenentukan gaya yang
terdapat pada sebuah irisan dari balok. Untuk mendapatkan gaya-gaya ini, maka sekarang
akan digunakan metoda irisan, yaitu pendekatan dasar dari mekanika bahan.
112 MEKANIKA TEKNIK
Penelaahan setiap balok dimulai dengan membuat diagram benda bebas. Gaya reaksi
selalu dapat dihitung dengan mempergunakan persamaan-persamaan keseimbangan, selama
balok tersebut merupakan statis tertentu. Sistem yang lengkap dari gaya-gaya yang
menjaga balok tersebut berada dalam keseimbangan dengan demikian dapat disusun,
sedang dalam langkah-langkah analisis yang berikut tidak diperlukan membuat perbedaan
antara gaya terpakai dan gaya reaksi. Metoda irisan selanjutnya dapat digunakan
untuk setiap irisan dari balok dengan mengerjakan konsep yang dipakai terdahulu di
mana bila keseluruhan benda berada dalam keseimbangan maka setiap bagian dari benda
tersebut berada pula dalam keseimbangan.
Untuk lebih khusus, tinjaulah sebuah balok seperti yang digambarkan dalam Gambar
4-14(a) dengan gaya-gaya terpusat dan terdistribusi yang bekerja terhadapnya. Gayagaya
reaksi telah dianggap pula lebih dahulu sebagai besaran yang diketahui karena
dapat dihitung seperti pada contoh-contoh soal yang telah kita tinjau lebih dahulu
dalam Pasal 4-5. Gaya-gaya terpakai luar serta gaya-gaya reaksi pada tumpuan menjaga
keseluruhan benda berada dalam keadaan seimbang. Sekarang tinjaulah suatu irisan
khayal X-X yang tegaklurus terhadap sumbu balok yang memisahkan balok menjadi
dua segmen seperti yang terlihat dalam Gambar-gambar 4-14(b) dan (c). Terutama perhatikanlah
bahwa irisan khayal tersebut melalui beban yang terdistribusi dan memisahkan
pula menjadi dua. Masing-masing segmen balok ini adalah benda bebas yang harus
berada dalam keseimbangan. Tetapi syarat keseimbangan membutuhkan adanya suatu
sistem gaya pada irisan dari balok tersebut. Pada umumnya pada sebuah irisan sebuah
balok suatu gaya vertikal, gaya horisontal dan suatu m6men diperlukan untuk mempertahankan
bagian balok terse but berada dalam keseimbangan. Besaran-besaran. ini mempunyai
arti yang khusus dalam balok dan karena itu akan dibahas secara terpisah.
W1 ·(beba\n b7ariasi mera~ total) dJ9 / W, (bobm toW)
p_~ , I I, ' ' ' \ ;};:
X A~~-
(a) t ~> l ' R 1y Ru
~PI w,
rTTl ~
/J
(c)
!11---RI>
R ly 1/?/1
Gambar 4-14 Penggunaan metoda irisan
pada balok statis tertentu
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 113
4-7 GESER DALAM BALOK
Untuk mempertahankan segmen balok seperti yang terlihat dalam Gambar 4-14(b)
berada dalam keseimbangan maka pada irisan harus ada sua tu gaya dalam vertikal V yang
memenuhi persamaan L Fy = 0. Gaya dalam V ini, yang bekerja tegaklurus pada sumbu
balok, disebut geser atau gaya geser (shearing force). Gaya geser secara numerik adalah
sama dengan jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya-gaya luar yang bekerja
pada segmen yang terisolasi, tetapi dengan arah yang berlawanan. Dengan data kualitatif
yang ditunjukkan oleh Gambar 4-14(b) maka V mempunyai arah yang berlawanan
dengan beban yang ke bawah di sebelah kiri irisan. Gaya geser pada irisan dapat pula
dihitung dengan meninjau segmen balok yang sebelah kanan seperti yang terlihat dalam
Gambar 4-14(c). Geser ini secara numerik sama dan berlawanan arah dengan jumlah
semua gaya vertikal, termasuk komponen gaya-gaya reaksi yang terdapat di sebelah
kanan irisan. Apakah segmen yang sebelah kanan atau sebelah kiri yang dipergunakan
untuk menentukan gaya geser pada irisan, tidaklah penting, yang menentukan adalah
kesederhanaan dalam perhitungan. Geser pada irisan yang lain dapat pula dihitung
dengan cara yang serupa.
Pada waktu ini suatu pengamatan yang berarti haruslah kita buat. Geser yang
sama yang terlihat dalam Gambar-gambar 14(b) dan (c) pada irisan X-X dalam kedua
diagram mempunyai arah yang berlawanan. Untuk yang bagian beban W1 yang mengarah
ke bawah pada sebelah kiri irisan X-X, balok pada irisan tersebut mempunyai
sebuah tumpuan ke atas untuk membuat gaya vertikal berada dalam keseimbangan.
Sebaliknya, bagian balok yang dibebani tersebut menggunakan gaya arah ke bawah pada
balok tersebut seperti yang terlihat dalam Gambar 4-14(c). Pada irisan geser "dua
arah" haruslah dibedakan, tergantung kepada segmen balok yang mana yang ditinjau. Ini
Resultante semua gaya disebelah kiri irisan
t/ +V I +V (ct=J)
Segmen balok
(a) (b)
Gambar 4-15 Definisi dari geser positif
114 MEKANIKA TEKNIK
mengikuti konsep statika aksi-reaksi yang telah kita kenal dan yang telah terjadi dahulu
dalam kasus batang be ban aksial, dan kemudian dalam masalah puntiran.
Arah geser pada irisan X-X akan saling terbalik pada kedua diagram bila beban
terdistribusi W 1 bekerja ke atas. Acapkali keterbalikan yang serupa dalam arah geser
terdapat pada suatu irisan atau yang lain di sepanjang balok untuk pertirnbangan yang
akan menjadi jelas kelak. Pemakaian kaidah tanda adalah perlu untuk membedakan
antara kedua arah geser yang mungkin. Definisi dari geser positif digambarkan dalam
gambar 4-lS(a). * Sua tu gaya dalam ke bawah yang bekerja pada sebelah kiri dari suatu
irisan atau satu gaya ke atas di sebelah kanan dari irisan yang sama adalah suatu geser
positif. Geser positif untuk elemen yang diisolasi dari suatu balok oleh dua irisan diperlihatkan
dalam Gambar 4-IS(b). Sedang geser pada irisan X-X dari Gambar 4-14(a)
adalah suatu geser negatif.
4-8 GAYA AKSIAL DALAM BALOK
Sebagai tambahan pada gaya geser V, maka suatu gaya mendatar seperti P pada ·
Gambar 4-16(b) dan (c), mungkin diperlukan pada sebuah irisan sebuah balok untuk ·
m,emenuhi syarat keseirnbangan. Besar dan arti dari gaya ini akan mengikuti jawab
khusus dari persamaan ~ Fx = 0. Bila gaya horisontal P terse but bekerja terhadap irisan
1-tj (beba\n b:rvariasi mera:
1
total) d]B 1 w, (bebon tou•>
p_1 , I I, ' ' ' \ ;M
A~~ .
(a) X 1 .h 1
I R4,. RB
Gambar 4-16 Pemakaian metoda irisan
pada balok statis tertentu
(ulangan)
* Definisi geser positif adalah berlawanan dengan penyelesaian matematis yang tepat yanj!; berhubungan
dengan sistem Cartesian empat persegi panjang sebelah kanan. Bagaimana pun hal ini akan
digunakan di seluruh buku ini karena kaidah ini sangat banyak dipakai dalam kepustakaan teknik
untuk penyelesaian yang benar-benar konsisten, lihat umpamanya E.P. Popov, Introduction to
Mechanics of Solids, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1968.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MO MEN LENTUR 115
maka ia disebut gaya dorong (thrust); bila gaya tersebut menjauhi irisan, dinamakan
gaya tarik aksial (axial tension). Sehubungan dengan pembedaan gaya-gaya ini maka digunakan
pula sebutan gaya aksial. Pengaruh dari gaya aksial pada irisan sebuah batang
telah dibahas pula dalam Bab 1. Kita melihat bahwa penting untuk membuat gaya ini
melalui titik berat luas penampang untuk menghindari lenturan. Begitu pula bahwa
garis aksi gay a aksial selalu diarahkan melalui titik berat luas penampang dari balok.
Kita boleh pula memeriksa suatu irisan dari balok untuk menentukan besaran gaya
aksial dengan cara tersebut di atas. Gaya tarik pada sebuah irisan biasanya diambil positif.
Gaya aksial ( dorong) pada irisan X-X dalam Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) adalah
sama dengan gaya mendatar P2 •
4-9 MOMEN LENTUR DALAM BALOK
Penentuan gaya geser dan aksial pada sebuah irisan balok melengkapi dua syarat
statika yang harus dipenuhi oleh segmen. Gaya-gaya ini memenuhi persamaan ~ Fx = 0
dan ~ Fy = 0. Syarat keseimbangan statis yang tinggal untuk persoalan planar adalah
~ Mz = 0. Pada umumnya, ini dipenuhi hanya dengan membentuk sebuah kopel atau
momen perlawanan dalam (internal resisting moment) pada luas penampang dari irisan
untuk menghadapi momen yang disebabkan oleh gaya-gaya luar. Momen perlawanan
dalam tersebut haruslah bekerja dalam arah yang berlawanan dengan momen luar untuk
memenuhi persamaan ~ Mz = 0. Demikian pula dari persamaan yang sama diperoleh
bahwa besar momen perlawanan dalam adalah sama dengan momen luar. Momenmomen
ini cenderung untuk melenturkan balok dalam bidang beban dan yang biasanya
diartikan sebagai momen lentur (bending moments).
Momen lentur dalam M dapat ditunjukkan dalam Gambar 4-16(b ). Momen ini dapat
dibentuk hanya dalam daerah penampang balok dan setara dengan sebuah kopel. Untuk
menentukan momen ini perlu dijaga keseimbangan segmennya, jumlah momen yang
disebabkan oleh gaya-gaya dapat dibuat disekitar tiap titik dalam bidang; sudah tentu,
semua gaya dikalikan dengan lengan harus dimasukkan ke dalam penjumlahan ini. Tidak
terkecuali gaya-gaya dalam V dan P. Untuk mengeluarkan momen yang disebabkan oleh
gaya-gaya ini dari penjumlahan, lebih baik dalam persoalan-persoalan numerik ini untuk
memilih titik potong kedua gaya dalam ini sebagai titik di sekitar mana momen-momen
tersebui dijumlahkan. Pada titik ini kedua gaya V dan P ini mempunyai lengan yang
panjangnya adalah nol, yang terletak pada titik berat daerah penampang dari balok.
Di samping meninjau segmen sebelah kiri irisan X-X, maka segmen sebelah kanan
balok, seperti dalam Gambar 4-16(c), dapat pula digunakan untuk menentukan momen
lentur dalam. Sebagai diterangkan di atas, momen dalam ini sama dengan momen luar
gaya-gaya terpakai (termasuk gaya-gaya reaksi). Penjumlahan momen lebih baik dibuat
di sekitar titik be~at irisan pada potongan tersebut. Dalam Gambar 4-16(b) momen perlawanan
dapat ditafsirkan secara f1sis sebagai sua tu tarikan pada serat atas dan dorongan
kepada serat yang lebih bawah. Interpretasi yang sama dapat pula berlaku untuk momen
yang sama dalam Gambar 4-16(c).
116 MEKANIKA TEKNIK
+M +M
(a) (b)
Gambar 4-17 Definisi dari momen lentur positif
Bila beban W1 da1am Gambar 4-16(a) bekerja dalam arah yang berlawanan, maka
m omen perlawanan dalam Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) akan terbalik. Ha! ini dari
keadaan yang serupa memerlukan penggunaan kaidah tanda untuk momen lentur.
Kaidah ini berhubungan dengan tindakan fisis yang tertentu dari balok tersebut. Umpamanya,
pada Gambar-gambar 4-16(b) dan (c) momen-momen dalam tersebut menunjukkan
tarik pada bagian atas dari balok dan menekan bagian yang lebih bawah. Ini cenderung
untuk memperbesar panjang permukaan atas dari balok dan memperpendek
bagian permukaan yang lebih rendah. Kejadian yang terus menerus dari momen-momen
seperti itu di sepanjang balok membuat balok tersebut berubah bentuk melengkung ke
atas, yaitu "tahan air". Momen lentur yang demikian diberi tanda negatif Sebaliknya,
momen yang positif didefinisikan sebagai yang menghasilkan tekan di sebelah atas dan
tarik di sebelah Jebih bawah dari suatu penampang balok. Dalam keadaan demikian
balok tersebut dianggap mempunyai bentuk "menyimpan air". Umpamanya, sebuah
balok sederhana yang mendukung suatu kelompok gaya ke bawah akan melengkung ke
bawah seperti yang diperlihatkan dalam bentuk yang berlebihan dalam Gambar 4-17(a),
suatu kenyataan yang dapat diduga secara langsung dengan intuisi. Pada balok seperti
itu, suatu pembahasan yang terperinci dari momen lentur sepanjang balok memperlihatkan
bahwa semua momen terscbut adalah positif. Pengertian momen lentur yang positif
pada sua tu irisan ditunjukkan dalam Gambar 4-17(b ).
4-10 DIAGRAM GESER, GAYA AKSIAL DAN MOMEN LENTUR
Dengan metoda yang dibahas di at as maka besaran dan arti dari gaya geser, gay a
aksial dan momen lentur dapat diperoleh pada berbagai irisan dari balok. Selanjutnya,
dengan memakai kaidah tanda untuk besaran-besaran ini, suatu plot dari harga-harganya
GAYA AKSIAL- GESER- OAN MOMEN LENTUR 117
dapat dibuat pada diagram-diagram yang terpisah Pada diagram-diagram tersebut
berdasarkan basis yang menyatakan panjang balok, maka ordinat menunjukkan besaranbesaran
yang dihitung. Bila titik-titik ordinat ini digambar dan dihubungkan oleh garis,
kita memperoleh pernyataan grafis dari fungsi-fungsi tersebut. Diagram-diagram ini
sesuai dengan macam besaran yang digambarkannya, yang berturut-turut disebut diagram
gaya geser, diagram gaya aksial, atau diagram momen lentur. Dengan bantuan
diagram demikian, maka besar dan letak berbagai besaran ini dengan segera menjadi
jelas. Adalah Jebih baik membuat plot ini langsung di bawah diagram benda bebas dari
balok, dengan mempergunakan skala horisontal yang sama untuk panjang balok tersebut.
Dalam membuat diagram-diagram tersebut, biasanya tidak diperlukan ketelitian
seperti para juru gambar. Meskipun ordinat-ordinat yang penting ditandai dengan harga
numeriknya.
Diagram gaya aksial tidak umum digunakan dalam sehari-hari sebagaimana halnya
diagram gaya geser dan momen lentur. Hal ini disebabkan oleh kebanyakan balok yang
dipelajari dalam praktek adalah yang dibebani oleh gaya-gaya yang bekerja tegaklurus
terhadap sumbu balok. Malahan pada pembebanan balok tersebut, gaya aksial tidak ada
pada irisan-irisannya.
Diagram-diagram geser dan momen adalah yang amat penting. Dari diagram ini para
perancang dapat dengan sekilas melihat macam kemampuan yang dapat diharapkan dari
balok pada setiap irisan. Pada Bab 10 mengenai disain batang metoda untuk menggambar
diagram-diagram ini secara cepat akan dibahas kelak. Bagaimana pun, prosedur
yang telah dibahas di atas mengenai pengirisan sebuah balok serta mendapatkan sistem
gaya-gaya yang terdapat pada irisan adalah merupakan pendekatan yang sangat mendasar.
Ini akan digunakan dalam melukiskan contoh-contoh yang berikut.
CONTOH 4-4
Gambarlah diagram-diagram gay a geser, gay a aksial dan momen lentur untuk balok
yang tidak berberat seperti yang terlihat dalam Gambar 4-18(a), yang mengalami gaya
miring sebesar P '""' 5 kN.
PENYELESAIAN
Diagram benda bebas untuk balok terse but dapat dilihat dalam Gambar 4-18(b ). Gayagaya
reaksi diperoleh sesudah ·gaya terpakai diuraikan menjadi dua komponen. Kemudian
diselidiki · beberapa irisan yang dibuat pada balok tersebut, seperti yang terlihat
dalam Gambar-gambar 4-18(c), (d), (e), (f) dan (g). Untuk setiap kasus pertanyaan yang
sama dapat diajukan: Gaya-gaya dalam yang manakah yang diperlukan untuk menjaga
segr1en balok tersebut berada dalam keseimbangan? Besaran-besaran yang sesuai ditulis
pada masing-masing diagram benda bebas yang bersangkutan dari segmen balok. Ordinat
untuk besaran-besaran ini ditunjukkan oleh titik-titik tebal dalam Gambar-gambar
4-18(h ), (i) dan (j) dengan perhatian kepada tanda-tanda besaran terse but.
Perhatikanlah bahwa benda-benda bebas yang terlihat dalam Gambar-gambar
4-18(d) dan (g) adalah diagram pengganti karena memberikan keterangan yang sama dan
biasanya keduanya tidak usah dibuat. Perhatikan pula bahwa irisan agak sebelah kiri dari
gay a terpakai mempunyai sa tu mac am tanda dari geser, Gambar 4-18( e), sedang yang
118 MEKANIKA TEKNIK
P = 5 kN .J
(a)
:;;;; - ! Oi;'
k---1• _5=--:::m~•-1---1• _____::___::.m:5 -=----+i•l z
(b) 2kN 4kN·m 4kN·m 2kN
3 kN 2 kir"'\__ 'l2 kN I -• -'.~T3 kN \.~
2kN,, 2 m,l (d) ~2kN
3 kN I 2 kN~IO kN·m
~1 ~~3kN
2 kNt i I 5 m- 1• I • 4 kN
3~ I 3kNfQ: I : -'t 10 kN·m
2 kN ~-------'5=--:mr-=--+l -1 2 kN
(c)
(e)
(f)
i 14kN
3 kN c==tl ==::!~3:;k;;Nt:::h ~ kN X 8 m- 4 kN X 3 IJl
-1 - -~~4kN·m
2kNl 8 m I 2 kN
I I
(g)
2 k:r-~+-2,..-,k:-::-N~l-+_...,ol :
: . : (h) ~-2kN
(i)
0 ! . . 1-3 kN! - .I I
-3kN ~kN·m~m~ .11.-N·
~m
( j) 0
Geser
Gaya aksial
Momen lentur
Gambar 4-18
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 119
agak sebelah kanan, Gambar 4-18(f), mempunyai tanda yang lain. Ini menunjukkan
pentingnya menentukan geser pada sebelah menyebelah gaya terpusat. Untuk keadaan
yang diperlihatkan tersebut, maka balok tidak melawan geser yang harganya sama
dengan keseluruhan gaya. Sedang momen lentur untuk kedua kasus adalah sama.
Untuk kasus yang khusus ini, setelah beberapa titik individual telah ditetapkan pada
ketiga diagram dalam Gambar 4-18(h), (i), dan G), maka sifat masing-masing besaran
pada keseluruhan panjang balok boleh diperbincangkan. Jadi meskipun segmen balok
yang terlihat dalam Gambar 4-18(c) panjangnya adalah 2 m, tetapi panjang ini boleh
saja diambil berubah-ubah dari no! sampai panjang ke titik dekat sebelah kiri gaya terpakai,
di mana tidak terdapat perubahan gaya geser dan gaya aksial. Jadi ordinat dalam
Gambar-gambar 4-18(h) dan (i) tetap konstan untuk segmen balok ini. Di pihak
lain, lllomen lentur bergantung dan berbanding lurus dengan jaraknya dari tumpuan,
hingga besaran ini berubah secara linier seperti yang terlihat dalam Gambar 4-18G).
Pertimbangan yang serupa berlaku pula untuk segmen yang terlihat dalam Gambar
4-18(d), yang memungkinkan kita dapat melengkapi bagian sebelah kanan ketiga dia- ·
gram tersebut di atas. Penggunaan diagram benda bebas dari Gambar 4-18(g) untuk
melengkapi diagram yang sebelah kanan memberikan hasil yang sama pula.
CONTOH 4-5
Gambarlah diagram geser dan momen lentur untuk balok yang dibebani oleh gaya yang
terlihat dalam Gambar 4-19(a).
~~p p!l
~:~ I t
(a) 'p
~ M=Px
(b) Gambar 4-19
---..__,__
(c) ~ M=Pa
p
Geser
(d) 01 + p
(e) ./ + SI+Pa
M omen
120 MEKANIKA TEKNIK
PENYELESAIAN
Sebuah irisan tertentu pada sua tu jarak x dari tumpuan sebelah kiri memisahkan segmen
balok yang terlihat dalam Gambar 4-19(b ). Irisan ini berlaku untuk semua harga x yang
terletak di sebelah kiri gaya terpakai P. Gaya geser tetap konstan yaitu. sel}esar +P.
Tanpa memperhatikanjaraknya dari tumpuan. Momen lentur berubah secara linier dari
titik tumpuan, sampai mendekati harga maksimumnya yaitu sebesar +Pa.
Suatu irisan tertentu yang berlaku di mana-mana antara dua gaya terpakai diperlihatkan
dalam Gambar 4-19( c). Tidak ada gaya geser yang diperlukan untuk menjaga
keseimbangan segmen dari bagian balok ini. Hanya satu momen lentur yang konstan
sebesar +Pa yang ada dalam daerah ini yang harus dilawan oleh balok tersebut. Keadaan
lentur yang demikian dinamakan lenturan mumi (pure bending).
Diagram-diagram geser dan momen lentur untuk keadaan pembebanan ini dapat
dilihat dalam Gambar-gambar 4-19( d) dan (e). Diagram gaya aksial tidak dibutuhkan
karena gaya ini memang tidak ada dalam irisan balok ini.
CONTOH 4-6
Gambarlah diagram geser dan momen lentur untuk sebuah balol< sederliana· dengan
beban yang terdistribusi secara merata, Gambar 4~20{a).
1' ' ' J =' ' ' J ' J 'l
Tw0 N/m
(a)
111'ol 1
L
(b)
1---'-'x---1
"-V=~ lllo•L HJoX
(c)
~IV.oL~
~ Geser
O ~-tW,0.L
M omen
(d) /: + ~} t l1'o•L
2
Gainbar 4-20
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MDMEN LENTUR 121
PENYELESAIAN
Cara yang terbaik untuk menyelesaikan soal ini ialah dengan menuliskan pernyataan
aljabar untuk besaran-besaran yang diselidiki. Untuk tujuan ini, sebuah irisan yang tertentu
dibuat pada jarak x dari tumpuan sebelah kiri, yang digunakan untuk mengisolasi
segmen yang terlihat dalam Gambar. 4-20(b ). Karena beban terpakai tersebut secara
kontinu didistribusikan sepanjang balok, maka irisan ini adalah khas dan berlaku untuk
setiap irisan di seluruh panjang balok. Pada kasus yang lebih sukar beberapa daerah dari
sebuah balok mungkin harus pula diselidiki tergantung dari distribusi dari beban terpakai.
Dalam beberapa hal dianjurkan mempergunakan beberapa titik asal dari x untuk
mempermudah fungsi-fungsi aljabar.
Gaya geser V adalah sama dengan gaya reaksi ke atas sebelah kiri dikurangi dengan
beban pada sebelah kiri irisan. Momen lentut dalam M melawan momen yang disebabkan
oleh gaya reaksi pada sebelah kiri kurang momen yang disebabkan oleh gaya-gaya
pada sebelah kiri irisan yang sama. Penjumlahan momen-momen ini dilakukan sekitar
suatu sumbu pada irisan tersebut. Meskipun biasanya kita mengisolasi segmen yang
sebelah kiri, tetapi hasil yang sama akan dapat pula kita peroleh dengan meninjau
segmen sebelah kanan dari balok, dengan memperhatikan kaidah-kaidah tanda. Gambar
fungsi-fungsi V danM dapat dilihat dalam Gambar-gambar 4-20(c) dan (d).
CONTOH 4-7
Tentukanlah diagram-diagram geser, gaya aksial dan momen lentur untuk kantilever
yang dibebani oleh suatu gaya yang miring pada ujungnya, Gambar 4-2l(a).
PENYELESAIAN
Pertama kali gaya miring tersebut kita uraikan ke dalam dua komponen yang diperlihatkan
oleh Gambar 4-2l(b) dan kemudian gaya-gaya reaksi dapat ditentukan. Ketiga
I PL PL -Px
I~ :) 1 X Jff
L
(a) (d) :I + ! I Gaya aksial
I
~ ~ (e) :I + i Geser
p I
(f).O~ M omen
(b)
-PL -f:PL- Px)
Gambar 4-21
122 MEKANIKA TEKNIK
besaran yang tidak diketahui pada tumpuan dapat diselesaikan dari persamaan-persamaan
statika yang sudah kita kenal. Ini melengkapi diagram benda bebas yang terlihat
dalam Gambar 4-21(b). Kelengkapan menunjukkan semua gaya-gaya ini merupakan hal
yang paling penting.
Sebuah segmen balok diperlihatkan dalam Gambar 4-21(c); dari segmen ini kita
melihat bahwa gaya geser dan gaya aksial tetap sama tanpa melihat jarak x. Pada pihak
lain, momen lentur adalah suatu besaran variabel. Penjumlahan momen sekitar titik C
memberikan (PL - Px) yang bekerja dalam arah yang terlihat. Ini menunjukkan suatu
momen negatif Momen pada tumpuan seperti halnya momen lentur negatif mempunyai
kecenderungan untuk menarik serat atas dari balok. Ketiga diagram tersebut digambarkan
dalam Gambar-gambar 4-21(d), (e), dan (f).
CONTOH 4-8
Diberikan sebuah balok lengkung yang sumbu titik beratnya dibengkokkan menjadi
bentuk setengah lingkaran dengan radius 0,2 m seperti yang terlihat dalam Gambar
4-:22(a). Bila batang ini ditarik oleh gaya sebesar 1000 N, hitunglah gaya aksial, geser
dan momen lentur pada irisan A-A, a= 45°. Sumbu titik berat dan gaya-gaya terpakai
semuanya terletak dalam bidang yang sama.
PENYELESAIAN
P= IOOON
(a)
y
M=
/
1000 N
(h)
' '
Gambar 4-22
Tidak ada perbedaan yang berarti dalam metoda penyelesaian soal ini dibandingkan
dengan persoalan balok lurus. Benda secara keseluruhan diperiksa dengan syarat keseimbangan.
Dari keadaan persoalan di sini, hat seperti ini sudah merupakan kasus. Berikutnya,
sebuah segmen dari balok diisolasikan, seperti Gambar 4-22(b). lrisan A-A diGAYA
AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 123
ambil tegaklurus terhadap sumbu balok. Sebelum 111enentukan besaran-besaran yang dikehendaki
pada irisan, maka gaya terpakai P diuraikan ke dalam komponen"komponen
yang sejajar dan tegaklurus terhadap irisan tersebut. Arah-arah ini diambil masing-masing
sebagai sumbu-sumbu y dan x. Penguraian ini mengganti gaya P dengan komponenkomponen
yang diperlihatkan dalam Gambar 4-22(b ). Dari L Fx = 0, gaya aksial pada
irisan adalah +707 N. Dari L Fy = 0, diperoleh gaya geser sebesar 707 N dengan arah
yang seperti diperlihatkan dalam gambar. Momen lentur pada irisan dapat ditentukan
dengan beberapa cara yang berbeda. Umpamanya, bila kita gunakan penjumlahan
L M0 = 0, maka harus diperhatikan bahwa garis kerja gaya terpakai P dan geser pada
irisan melalui titik 0. Karena itu yang perlu kita perhatikan sekarang hanyalah gaya
aksial melalui titik berat irisan dikalikan dengan radius, hingga kita memperoleh momen
lentur perlawanan adalah 707(0,2) = 141,4 .N·m, yang bekerja dalam arah yang diperlihatkan
dalam gambar di atas. Cara penyelesaian yang lain dapat diperoleh dengan
menggunakan L Me = 0. Pada titik C, yaitu titik yang terletak pada titik berat, gaya
aksial dan geser berpotongan. Oleh karena itu maka momen lentur sekarang menjadi
sebagai basil perkalian antara gaya terpakai P dengan lengan sebesar 0,1414 m. Dalam
kedua metoda penentuan momen lentur ini, penguraian gaya P ke da1am koinponenkomponennya
tidaklah perlu dilakukan hingga persoalan sekarang menjadi lebih menyangkut
perhitungan saja.
Pembaca dapat pula dianjurkan untuk melengkapi persoalan ini dalam bentuk sudut
umum a. Beberapa pengamatan yang penting mungkin dapat dibuat dari penyelesaian
upmm seperti ini. Momen-momen pada ujung-ujung akan menjadi nol untuk a = 0° dan
a = 180°. Untuk a = 90° gaya geser akan menjadi nol dan gaya aksial akan menjadi
sama dengan gaya terpakai P. Demikian pula dengan m omen lentur yang menjadi maksimum
pada a = 90°.
4-11 PROSEDUR LANGKAH DEMI LANGKAH
(STEP-BY-STEP PROCEDURE)
Dalam analisis balok adalah penting sekali untuk dapat menentukan gay a geser,
gaya aksial dan momen lentur pada setiap irisan. Teknik untuk mendapatkan besaranbesaran
ini luar biasa jelasnya dan sistematik. Untuk memberikan penekanan lebih
lanjut, maka langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan semua soal-soal yang
sudah dibahas akan kita ringkas sekarang. Ikhtisar ini dimaksudkan untuk membantu
pada mahasiswa dalam melakukan analisis yang tertib mengenai persoalan ini. Menghafal
belaka prosedur ini adalah mengecewakan.
1. Buat1ah skets balok yang baik di mana semua gaya-gdya terpakai dengan jelas diperlihatkan
beserta letaknya terhadap tumpuan.
2. Dengan tegas tunjukkan gaya-gaya reaksi yang tidak diketahui (lebih baik menggunakan
pensil berwarna). lngatlah bahwa sebuah tumpuan rol mempunyai satu
gaya reaksi yang tidak diketahui, tumpuan berpasak mempunyai dua gaya reaksi
yang tidak diketahui, sedang tumpuan jepit mempunyai Tiga gaya reaksi yang tidak
diketahui.
124 MEKANIKA TEKNIK
3. Gantilah semua gaya-gaya miring (yang diketahui dan tidak diketahui) dengan komponen-
komponen yang sejajar dan tegaklurus dengan balok. *
4. Pergunakanlah persamaan-persamaan statika untuk memperoleh gaya-gaya reaksi
tersebut.t Pemeriksaan terhadap gaya-gaya reaksi yang dilakukan dengan cara
yang sudah dikemukakan dalam Contoh-contoh 4~1, 4-2 dan 4-3, adalah sangat diperlukan.
5. Buatlah sua tu irisan pada letak yang dikehendaki dari balok yang tegaklurus pada
sumbunya. Irisan khayal ini memo tong balok tersebut saja dan isolasikan gaya-gaya
yang bekerja pada segmen tersebut.
6. Pilihlah suatu segmen di sebelah menyebelah irisan yang sudah dikemukakan dan
gambarkan kembali segmen ini, dengan menunjukkan semua gaya-gaya luar yang
bekerja padanya. Ini harus termasuk semua komponen gaya-gaya reaksi. ·
7. Tunjukkan ketiga besaran yang tidak diketahui yang mungkin ada pada irisan
potongan, yaitu, perlihatkanlah gaya-gaya P, V dan M, dengan mengandaikan araharah
mereka.
8. Pergunakanlah persamaan-persamaan keseimbangan untuk segmen tersebut dan
selesaikanlah untuk besaran-besaran P, V dan M. Bila hasil penyelesaian tersebut
menunjukkan bahwa besaran-besaran ini berharga negatif, maka arah yang telah
diandaikan semula pada irisan tersebut haruslah dibalikkan.
Prosedur ini memungkinkan kita menentukan gaya geser, gaya aksial dan momen
lentur pada setiap irisan sebuah balok. Tanda untuk besaran-besaran ini mengikuti definisi-
definisi yang telah diberikan lebih dahulu. Bila yang dikehendaki adalah diagram
sistim gaya-gaya dal~m, maka beberapa irisan bisa pula diselidiki. Janganlah salah menentukan
perubahan mendadak dari gaya geser pada gaya~gaya yang terpusat, dan
perubahan mendadak dari harga momen lentur pada titik-titik di mana ada momenmomel_
l yang terpusat. Kadang-kadang diperlukan pula pernyataan aljabar dari besaranbesaran
yang sama.
Dalam pembahasan di atas pembuatan diagraJTI-diagram gaya geser dan momen
terutama digambarkan untuk batang yang horisonta:. Untuk batang yang miring, prosedur
adalah sama, kecuali bila mengarahkan sumbu koordinat sepanjang dan tegaklurus
sumbu batang. Pada sistem struktur melengkung dan yang mengikuti ruang arah sumbu
adalah sepanjang sumbu dari batang. Dalam kasus demikian salah satu sumbu koordinat
diambil menyinggung terhadap sumbu batang, seperti yang terlihat dalam Gambar 4-22.
Untuk menyelesaik~n dengan skema diagramatis yang digunakan dalam buku ini untuk
balok horisontal, maka ordinal untuk momen lentur dari sistcm lengkung dan sistem
bentuk ruang haruslah diplot pada bagian tekan dari irisan. +
Pada waktu ini disarankan untuk meninjau kembali Pasal 1-9 mengenai pendekatan
dasar dari mekanika bahan, sebagai pengetahuan yang sangat baik mengenai isi pasal tcrsebut.
* Suatu kecerdikan yang lebih besar dibutuhkan untuk mcnghadapi balok-balok yang mclcngkung.
t Langkah ini dapat dihilangkan untuk kantilevcr dengan mcngcrjakan dari ujung yang bcbas.
I Dalam beberapa buku mcngcnai analisa struktur, skema yang hcrlawanan dipergunakan pula.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 125
SOAL·SOAL YANG HARUS DISELESAIKAN
(Catatan: Sebagai tambahan pada balok, maka
kerangka sederhana termasuk pula ke dalam
soal-soal yang berikut. Untuk besaran-besaran
yang ditanyakan, penelaahan mengenai kerangka-
kerangka ini analog dengan yang mertgenai
balok).
4-l. Buktikanlah bahwa efek terhadap suatu
struktur dari gaya tarik yang bekerja pada
kabel fleksibel yang melalui sebuah katrol yang
tidak mempunyai gesekan adalah sama dengan
yang dari dua gaya yang sama yang bekerja
pada titik pusat gandar.
4-2. Hitunglah gaya-gaya reaksi pada tumpuantumpuan
sendi A dan B. Jawab: RAx = 18,75
kN, RAy = 75 kN.
B
GAMBAR SOAL 4 - 2
4-3. Untuk balok yang dibebani seperti yang
diperlihatkan dalam gambar, tentukanlah besar
dan arah gaya-gaya reaksi.
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4 - 3
4-4 sampai 4-13. Llnluk· struktur-slruktur
planar yan~ dibcbani sepcrti yan~ diperlilwt
dalam gambar-gambar yang di bawah, tcntukanlah
gaya-gaya reaksi atau komponcn-komponen
~aya rcaksi. Scmua struktur tersebut diandaikan
tidak mcmpunyai berat. Sua tu pl'nggambaran
diagram benda hc·bas yang benar adalah bagi·
an yang penting dari masing-masing soal.
Jawab: Komponen reaksi ke atas untuk gaya
reaksi sebelah kiri diberikan dalam tanda kurung
pada masing-masing gambar, dalam satuan
yang sama dengan beban terpakai.
/ / t-+-----·--+1
4m
(6)
GAMBAR SOAL 4 - 4
/0,2 m rat!
20 kN
( -20)
GAMBAR SOAL 4 - 5
_....-- 30 kN/m
AJ-J- c:Cf1- ~ 'j"2.m' ~T~- I
(10)
GAMBAR SOAL 4 - 6
1,5 Ill !m
(69,2)
GAMBAR SOAL 4 - 7
7,07 kN~~s_·_
s!' m
3,5 m U ,;lj
--- ----...j
t2J5)
GAMBAR SOAL 4 - 8
126 MEKANIKA TEKNIK
100 kN 3 500 kN
(100)
GAMBAR SOAL 4 - 9
I m
-+-.-------LJ I
I m.:...r_t~=---+----~~ _
GAMBAR SOAL 4- 10
I m
I m
(35)
(25,6)
GAMBAR SOAL 4 - 11
20 kN
( 10)
GAMBAR SOAL 4 - 12
0,9 kN/m
45
(X77)
GAMBAR SOAL 4 - 13
4-14. Untuk balok yang dibebani seperti yang
diperlihatkan dalam gambar, hitunglah gaya
geser dan momen lentur pada pertengahan rentangan
yang disebabkan oleh beban terpakai.
4-15. Sebuah blok rantai dipergunakan untuk
mengangkat berat 1000 kg dengan perantaran
balok penyebar yang terlihat pada gambar. Rantai
AB adalah 2,4 m panjangnya, sedang rantai
BC adalah 3,2 m panjangnya. Dengan mengabaikan
berat dari susunan balok ini, hitunglah
komponen-komponen semua gaya yang bekerja
sejajar dan tegaklurus kepada balok tersebut
bila sedang digunakan. Jawab: RAx = 3530 N.
A c
GAMBAR SOAL 4 - 15
4-16. Dua buah massa masing-masing berat
2 kg dipasang pada sebuah poros dengan perantaraan
lengan kaku seperti yang terlihat dalam
gambar. Dengan mengabaikan berat poros dan
lengan-Tengan, hitunglah gaya-gaya reaksi pada
bantalan bila poros berputar dengan 600 rpm.
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4- 16
4-17. Tentukanlah momen lentur pada tumpuan
B dalam Soal4-5. Jawab: 30 kN.m.
4-18. Tcntukanlah ~aya gcser dan momen
lentur pada irisan yang terdapat di tengahtengah
antara titik C dan D pada balok AB dari
soal 4-9. Jawab: + 300 kN, +1350 kN-m.
4-19. ltitunglah komponen-komponen gaya
rcaksi pada titik A dan B. dan hitunglah gaya
aksial. ~escr dan nwmen lentur pada irisan
a-a dari tiang kayu 300 X 300 mm.
GAYA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 127
Kabel 300 x .~00 mm
__- --..:4_ __, f..- ---..:J=,s-.1122
(Semua ukuran dalam mm)
GAMBAR SOAL 4-19
4-20. Untuk struktur planar yang terlihat dalam
gambar, tentukanlah gay a aksial, geser dan
momen lentur pada irisan a-o.
45kN
GAMBAR SOAL 4 - 20
4-21. Sebuah dongkrak hidraulis menggunakan
suatu gaya ke bawah sebesar 5400 N pada hubungan
yang terlihat dalam gambar. Berapakah
bcsar gaya aksial. gl·ser dan mnm~n lentur pada
irisan a.a yang discbabkan oleh pemakaian gay a
ini? Semua ukuran dalam m~ter.
GAMBAR SOAL 4-21
4-22 sampai 4-33. Untuk struktur-struktur
planar yang diperlihatkan dalam gambar-gambar
yang berikut, tentukanlah gaya aksial, gaya
geser dan momen lentur pada irisan-irisan a.a,
b-b, c-c, dan d-d di mana besaran-besaran tersebut
bekerja. Abaikanlah berat struktur tersebut.
_Pada setiap kasus, gambarlah diagram
benda-bebas dari bagian yang diisolasikan dari
struktur tersebut, dan dengan jelas perlihatkanlah
keadaan dari bemran-besaran yang dihitung.
Beberapa irisan terlihat berdekatan antara sesamanya.
Dalam keadaan ini, tentukanlah
besaran-besaran yang ditanyakan di atas, sedikit
Qi sebelah kiri dan sedikit di sebelah kanan dari
titik dalam pertanyaan tersebut, dengan menganggap
le bar dari anggota bangunan adalah kecil
sekali. Jawab: Jawaban untuk beberapa soal diberikan
sebagai berikut: gay a. aksial, geser dan
momen. Tanda untuk geser dan momen berlaku
hanya untuk struktur horisontal.
Soal. 4-22. -30 kN, +20 kN, + 30 kN-m.
Soal. 4-25. +lOkN, + 5 kN, + 2,5 kN.m.
2,4 m 2,4 m
GAMBAR SOAL 4 - 22
Batang segiempat
berat total61,2 N
Tumpuan licin
JOO
111111
--------·---1--------'L
-WO mm
GAMBAR SOAL 4 - 23
128 MEKANIKA TE~NIK
GAMBAR SOAL 4 - 24
GAMBAR SOAL 4 - 28
I m 25 kN
54 m
c
B
I m I m
GAMBAR SOAL 4 - 25
GAMBAR SOAL 4 - 29
GAMBAR SOAL 4 - 26 1,8 m
125 kN
I ,2 m
GAMBAR SOAL:4- 27 GAMBAR SOAL 4 - 30
GAVA AKSIAL- GESER- DAN MOMEN LENTUR 129
GAMBAR SOAL 4 - 31
~~------~~50kN
E
E
,.-,
GAMBAR SOAL 4 - 32.
GAMBAR SOAL 4-33
4-34. Tentukanlah gaya aksial, geser dan
momen lentur pada irisan a-a. Tidak ada hu-
GAMBAR SOAL 4 - 34
bungan antara batang-batang AD dan BC di
titik E.
4-35 sampai 4-40. Buatlah plot diagram gaya
geser dan momen untuk balok yang dibebani
seperti yang terlihat dalam gambar. Jawab: momen
maksimum terdapat dalam tanda kurung
pada masing-masing gambar soal yang bersangkutan.
·
( +24)
GAMBAR SOAL 4 - 35
M,
~- L r (+M,)
GAMBAR SOAL 4 - 36
(-M,)
GAMBAR SOAL 4-37
(500)
GAMBAR SOAL 4 - 38
50 N
(20)
GAMBAR SOAL 4 - 39
130 MEKANIKA TEKNIK
p M= Pa
(~Pa)
GAMBAR SOAL 4 - 40
4-41 sampai 4-43. Untuk balok-balok yang dibebani
seperti yang terlihat dalam gambargambar
soal yang berikut, tulislah pernyataan
aljabar dari gaya geser dan momen lentur
untuk selang AB. Jawab: Soal 4-42: M = t k
(L'x-x3
).
A r 8 ~ a, h if
1--L-------1
GAMBAR SOAL 4-41
kL ~
GAMBAR SOAL 4 - 42
30 kNfm
·'~s~:l "4m" ~
----1
GAMBAR SOAL 4 - 43
4-44. Tulislah persamaan aljabar umum untuk
gaya aksial, geser dan momen lentur untuk
balok lengkung dari Contoh 4-8. Jawab: M= Pr
sin <X.
4-45. Sebuah batang berpenampangsikuempat
yang dibengkokkan menjadi berbentuk setengah
lingkaran, terpasang tetap pada salah satu
ujungnya sedang seluruh batang mendapat
tekanan radial dalam sebesar p N per satuan
panjang (lihat gambar). Tulislah pernyataan
umum untuk P(O), V(O) dan M(O) dan plot hasilnya
dalam diagram kutub. Perlihatkan arah
positif yang diandaikan untuk P, V dan M pada
diagram benda bebas. Jawab: M = pr2 (1 -
cos 0).
p N/m
Radius batang = R
GAMBAR SOAL 4 -45
4-46. Sebuah batang dibuat dalam bentuk sebuah
siku-siku seperti terlihat dalam gambar
dan terpasang tetap pada salah satu ujungnya.
(a) Tulislah pernyataan umum untuk V, M dan
T (momen puntir) yang disebabkan oleh penggunaan
suatu gaya F yang tegaklurus terhadap
bidang batang yang dibengkokkan tersebut.
Plotlah hasilnya. (b) Bila sebagai tambahan terhadap
gaya terpakai F di atas, ditinjau pula berat
batang sebesar w N per satuan panjang, maka
sistem komponen gaya dalam apakah yang
akan terbentuk pada ujung batang yang terpasang
tetap? Jawab: (a) M= -F (L - x), (b) M=
-(F + aw + lh.wL)L.
y
z
l
GAMBAR SOAL 4 - 46
(Catatan: Untuk soal-soal tambahan lihatlah Bab 10).